10.3 Przekroje brył i twierdzenie o trzech prostopadłych

0 Płaska figura w bryle

Przekrój bryły płaszczyzną to wielokąt, którego wierzchołki leżą na krawędziach bryły. Po jego narysowaniu zadanie staje się planimetryczne: trzeba policzyć boki, wysokość i pole tego wielokąta. Twierdzenie o trzech prostopadłych pozwala rozpoznać kąty proste w ścianach, które na rysunku wcale nie wyglądają na proste. A odległość punktu od płaszczyzny najłatwiej policzyć nie geometrycznie, tylko z dwóch wzorów na objętość tego samego czworościanu.

1 Przekroje

Typowe przekroje

Sześcian o krawędzi $a$ : płaszczyzna przez przekątne podstaw $AC$ i $EG$ daje prostokąt $a\times a\sqrt2$ ; płaszczyzna $BDE$ daje trójkąt równoboczny o boku $a\sqrt2$ .
Ostrosłup prawidłowy: płaszczyzna przez wierzchołek $S$ i przekątną podstawy daje trójkąt o podstawie $d$ i wysokości $H$ .
Płaszczyzna równoległa do podstawy ostrosłupa albo stożka wycina figurę podobną do podstawy w skali $k = \frac{h}{H}$ (gdzie $h$ to odległość od wierzchołka): pole $k^2 P_p$ .

Kąt nachylenia przekroju do podstawy mierzy się tak jak kąt ściany: w trójkącie prostokątnym prostopadłym do krawędzi wspólnej.

Przykład 1.1 Trójkąt w sześcianie

Sześcian $ABCDEFGH$ ma krawędź $4$ . Oblicz pole przekroju płaszczyzną $BDE$ i tangens kąta między tą płaszczyzną a podstawą $ABCD$ .

$|BD| = |DE| = |EB| = 4\sqrt2$ (przekątne ścian): trójkąt równoboczny, $P = \frac{32\sqrt3}{4} = 8\sqrt3$ .
Krawędź wspólna płaszczyzn to $BD$ . Środek $O$ odcinka $BD$ : $EO \perp BD$ i $AO \perp BD$ , więc szukany kąt to $\angle EOA$ .
$\operatorname{tg}\angle EOA = \frac{|AE|}{|AO|} = \frac{4}{2\sqrt2}$ .

Wynik: $P = 8\sqrt3$ , $\ \operatorname{tg} = \sqrt2$ .

Przykład 1.2 Przekroje ostrosłupa

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $6$ i wysokość $4$ . Oblicz pole przekroju płaszczyzną przez wierzchołek i przekątną podstawy oraz pole przekroju płaszczyzną równoległą do podstawy w połowie wysokości.

Trójkąt $ASC$ : podstawa $6\sqrt2$ , wysokość $4$ : $\ P = 12\sqrt2$ .
W połowie wysokości $k = \frac12$ : kwadrat o boku $3$ , pole $9$ .

Wynik: $12\sqrt2$ i $9$ .

Zadania · część 1

3 zadania · ok. 6 min

Sześcian ma krawędź $6$ . Oblicz pole przekroju płaszczyzną zawierającą przekątne $AC$ i $EG$ .

Odpowiedź
Prostokąt $6\times6\sqrt2$ : $\ 36\sqrt2$ .
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $8$ i wysokość $6$ . Oblicz pole przekroju płaszczyzną przez wierzchołek i przekątną podstawy.

Odpowiedź
$\frac12\cdot8\sqrt2\cdot6 = 24\sqrt2$ .
Stożek ma promień podstawy $6$ . Płaszczyzna równoległa do podstawy przecina wysokość w odległości $\frac13H$ od wierzchołka. Oblicz pole przekroju.

Odpowiedź
Koło o promieniu $2$ : $\ 4\pi$ .

2 Twierdzenie o trzech prostopadłych

Twierdzenie (w broszurze CKE)

Prosta $k$ przebija płaszczyznę w punkcie $P$ , $l$ jest jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę, a prosta $m$ leży w płaszczyźnie i przechodzi przez $P$ . Wtedy $m \perp k \iff m \perp l$ .

Typowe użycie: krawędź $SA$ jest prostopadła do podstawy, a $AB \perp BC$ . Rzutem $SB$ na podstawę jest $AB$ , więc $SB \perp BC$ , czyli ściana $SBC$ jest trójkątem prostokątnym z kątem prostym przy $B$ .

Przykład 2.1 Ściana prostokątna

W ostrosłupie $ABCS$ krawędź $SA$ jest prostopadła do podstawy, $|SA| = 4$ , $|AB| = 3$ , $|BC| = 5$ i $\angle ABC = 90^\circ$ . Oblicz pole ściany $SBC$ .

$SA \perp$ podstawy, rzut $SB$ to $AB$ , a $BC \perp AB$ ; z twierdzenia o trzech prostopadłych $BC \perp SB$ .
$|SB| = \sqrt{16 + 9} = 5$ ; $\ P_{SBC} = \frac12\cdot5\cdot5$ .

Wynik: $\frac{25}{2}$ .

3 Odległość punktu od płaszczyzny

Metoda objętości

Odległość $d$ punktu $P$ od płaszczyzny $ABC$ to wysokość czworościanu $ABCP$ opuszczona z $P$ . Gdy objętość $V$ tego czworościanu łatwo policzyć inaczej (z innej podstawy), to $d = \frac{3V}{P_{ABC}}$ .

Przykład 3.1 Wierzchołek sześcianu i płaszczyzna

Sześcian ma krawędź $a$ . Oblicz odległość wierzchołka $C$ od płaszczyzny $BDG$ .

Czworościan $BCDG$ z podstawą $BCD$ (połowa ściany) i wysokością $CG$ : $\ V = \frac13\cdot\frac{a^2}{2}\cdot a = \frac{a^3}{6}$ .
Trójkąt $BDG$ jest równoboczny o boku $a\sqrt2$ : $\ P = \frac{a^2\sqrt3}{2}$ .
$d = \frac{3V}{P} = \frac{a^3/2}{a^2\sqrt3/2}$ .

Wynik: $d = \frac{a\sqrt3}{3}$ (jedna trzecia przekątnej sześcianu).

Zadania · część 3

1 zadanie · ok. 4 min

Sześcian ma krawędź $2$ . Oblicz odległość wierzchołka $A$ od płaszczyzny $BDE$ .

Odpowiedź
$V_{ABDE} = \frac13\cdot2\cdot2 = \frac43$ , $\ P_{BDE} = \frac{8\sqrt3}{4} = 2\sqrt3$ , $\ d = \frac{4}{2\sqrt3} = \frac{2\sqrt3}{3}$ .

4 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 11 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · pola przekrojów

Zestawy A

Oblicz pole przekroju.
1. sześcian $a = 3$ , płaszczyzna $ACGE$
2. stożek $r = 4$ , $H = 3$ , przekrój osiowy
Odpowiedzi
a) $9\sqrt2$ b) $12$

Poziom B · kąty

Zestawy B

Oblicz.
1. sześcian: tangens kąta między płaszczyzną $BDE$ a podstawą
Odpowiedzi
a) $\sqrt2$

Poziom C · prostopadłość i odległość

Zestawy C

Odpowiedz.
1. $SA \perp$ podstawy $ABC$ , $AB \perp BC$ : który kąt ściany $SBC$ jest prosty?
Odpowiedzi
a) $\angle SBC$

Pełny trening (11 przykładów i zadań) →

5 Na maturze

W puli CKE z lat 2024–2026 to zadania otwarte za 3–5 punktów, prawie zawsze z ostrosłupem prawidłowym albo sześcianem. Punkty przyznaje się za kolejne długości wyznaczone w zależności od jednej zmiennej, za wskazanie właściwego kąta albo odcinka (który odcinek jest wysokością przekroju), i za wynik. W informatorze odległość od płaszczyzny liczy się metodą objętości. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

3 zadania · 13 pkt · ok. 40 min

(0–4 pkt) Wszystkie krawędzie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego $ABCDS$ mają długość $6$ . Punkt $K$ jest środkiem krawędzi $SA$ . Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną $BDK$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Przekrój. trójkąt $BDK$ , $\ |BD| = 6\sqrt2$ .
2. Ramiona. ściany boczne są trójkątami równobocznymi o boku $6$ , więc $BK$ i $DK$ to ich wysokości: $|BK| = |DK| = 3\sqrt3$ .
3. Wysokość przekroju. $O$ środek $BD$ : $|KO| = \sqrt{27 - 18} = 3$ .
4. Pole. $\frac12\cdot6\sqrt2\cdot3 = 9\sqrt2$ .
1 pkt za $|BD|$ . 2 pkt za $|BK| = 3\sqrt3$ . 3 pkt za $|KO| = 3$ . 4 pkt za pole $9\sqrt2$ .
(0–4 pkt) Sześcian $ABCDEFGH$ ma krawędź $6$ . Oblicz odległość wierzchołka $C$ od płaszczyzny $BDG$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Objętość. $V_{BCDG} = \frac13\cdot18\cdot6 = 36$ .
2. Pole. $BDG$ równoboczny o boku $6\sqrt2$ : $\ P = \frac{72\sqrt3}{4} = 18\sqrt3$ .
3. Odległość. $d = \frac{3\cdot36}{18\sqrt3} = \frac{6}{\sqrt3} = 2\sqrt3$ .
1 pkt za objętość czworościanu. 2 pkt za pole $BDG$ . 3 pkt za zależność $d = \frac{3V}{P}$ . 4 pkt za $2\sqrt3$ .
(0–5 pkt) Podstawą ostrosłupa $ABCS$ jest trójkąt prostokątny $ABC$ z kątem prostym przy wierzchołku $B$ , $|AB| = 6$ , $|BC| = 8$ . Krawędź $SA$ jest prostopadła do płaszczyzny podstawy i $|SA| = 8$ . Wykaż, że ściana $SBC$ jest trójkątem prostokątnym, i oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa.
Rozwiązanie i punktacja
1. Kąt prosty. $SA \perp$ podstawy, rzutem $SB$ na podstawę jest $AB$ , a $BC \perp AB$ ; z twierdzenia o trzech prostopadłych $BC \perp SB$ .
2. Długości. $|SB| = \sqrt{64 + 36} = 10$ , $\ |AC| = \sqrt{36 + 64} = 10$ .
3. Ściany. $P_{SAB} = \frac12\cdot6\cdot8 = 24$ , $\ P_{SBC} = \frac12\cdot10\cdot8 = 40$ , $\ P_{SAC} = \frac12\cdot10\cdot8 = 40$ .
4. Wynik. $P_b = 104$ .
1 pkt za uzasadnienie, że $SBC$ jest prostokątny. 2 pkt za $|SB|$ i $|AC|$ . 3 pkt za pola dwóch ścian. 4 pkt za trzecią ścianę. 5 pkt za $104$ . Przyjęcie kąta prostego przy $B$ w ścianie $SBC$ bez uzasadnienia: co najwyżej 2 pkt.

6 Najczęstsze błędy

„Ściana $SBC$ wygląda na zwykły trójkąt, więc liczę jej pole wzorem Herona.”: Sprawdź najpierw, czy nie działa twierdzenie o trzech prostopadłych. W maju 2025 to była różnica między 0 a 5 punktami.
„Kąt nachylenia przekroju do podstawy to kąt przy wierzchołku podstawy.”: Kąt dwuścienny mierzy się prostymi prostopadłymi do krawędzi wspólnej, np. w środku przekątnej, a nie wzdłuż krawędzi bocznej.
„Płaszczyzna w połowie wysokości wycina połowę pola podstawy.”: Skala $\frac12$ daje pole $\frac14$ podstawy.
„Odległość punktu od płaszczyzny to odległość od najbliższego wierzchołka.”: To długość odcinka prostopadłego do płaszczyzny. Najprościej liczy się ją metodą objętości.

7 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Jaki kształt ma przekrój sześcianu płaszczyzną

ACG

Prostokąt $ACGE$ .

2 Ile wynosi pole przekroju stożka w połowie wysokości, gdy pole podstawy to

36\pi

$9\pi$ .

3 Kiedy z

m \perp l

wynika

m \perp k

Gdy $l$ jest rzutem $k$ na płaszczyznę, a $m$ leży w tej płaszczyźnie i przechodzi przez punkt przebicia.

4 Jaki wzór daje odległość

d

z objętości?

$d = \frac{3V}{P}$ .

8 Karta wzorów i co dalej

Przekroje

sześcian: $ACGE$ ( $a \times a\sqrt2$ ), $BDE$ (równoboczny, $a\sqrt2$ )

równoległy do podstawy: pole $k^2P_p$

Narzędzia

trzy prostopadłe: $m \perp k \iff m \perp l$

odległość od płaszczyzny: $d = \frac{3V}{P}$

W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” jest twierdzenie o trzech prostych prostopadłych i wszystkie wzory na objętości. Metody objętości dla odległości ani gotowych przekrojów sześcianu tam nie ma.

Dalej: kombinatoryka, reguła mnożenia i dodawania (lekcja 11.1 Reguła mnożenia i reguła dodawania).