Trening: 10.3 Przekroje brył i twierdzenie o trzech prostopadłych

Poziom A · pola przekrojów

Zestawy A

1 zestaw

Poziom B · kąty

Zestawy B

1 zestaw

Oblicz.
1. sześcian: tangens kąta między płaszczyzną $BDE$ a podstawą
2. ostrosłup prawidłowy czworokątny $a = 6$ , $H = 3\sqrt2$ : kąt $SAC$
Odpowiedzi
a) $\sqrt2$ b) $45^\circ$

Poziom C · prostopadłość i odległość

Zestawy C

1 zestaw

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu rozszerzonym CKE: zadania otwarte z punktowanymi etapami.

Zadania w stylu arkusza

2 zadania · 7 pkt

(0–3 pkt) Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $4$ i wysokość $6$ . Płaszczyzna równoległa do podstawy przecina ostrosłup w odległości $2$ od podstawy. Oblicz pole przekroju.
Rozwiązanie i punktacja
1. Skala. odległość przekroju od wierzchołka: $6 - 2 = 4$ , $\ k = \frac46 = \frac23$ .
2. Bok. $4\cdot\frac23 = \frac83$ .
3. Pole. $\frac{64}{9}$ .
1 pkt za $k = \frac23$ (od wierzchołka, nie od podstawy). 2 pkt za bok. 3 pkt za pole.
(0–4 pkt) W czworościanie $OABC$ krawędzie $OA$ , $OB$ , $OC$ są parami prostopadłe, $|OA| = 3$ , $|OB| = 4$ , $|OC| = 12$ . Oblicz odległość punktu $O$ od płaszczyzny $ABC$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Objętość. $V = \frac13\cdot\frac12\cdot3\cdot4\cdot12 = 24$ .
2. Boki $ABC$ . $|AB| = 5$ , $\ |AC| = \sqrt{153}$ , $\ |BC| = \sqrt{160}$ ; wysokość trójkąta $OAB$ na $AB$ : $\frac{12}{5}$ , wysokość $ABC$ na $AB$ z twierdzenia o trzech prostopadłych: $\sqrt{144 + \frac{144}{25}} = \frac{12\sqrt{26}}{5}$ .
3. Pole. $P_{ABC} = \frac12\cdot5\cdot\frac{12\sqrt{26}}{5} = 6\sqrt{26}$ .
4. Odległość. $d = \frac{3\cdot24}{6\sqrt{26}} = \frac{12}{\sqrt{26}} = \frac{6\sqrt{26}}{13}$ .
1 pkt za objętość. 2 pkt za wysokość trójkąta $ABC$ albo inną poprawną drogę do pola. 3 pkt za pole $6\sqrt{26}$ . 4 pkt za $d$ .