Trening: przekroje i odległości w przestrzeni

a) $9\sqrt2$   b) $\tfrac{9\sqrt3}{2}$   c) $25$   d) $12$

a) $\sqrt2$   b) $45^\circ$

a) $\angle SBC$   b) $\tfrac{\sqrt3}{3}$   c) $\tfrac{2\sqrt3}{3}$

1. Skala. odległość przekroju od wierzchołka: $6 - 2 = 4$, $\ k = \frac46 = \frac23$.
2. Bok. $4\cdot\frac23 = \frac83$.
3. Pole. $\frac{64}{9}$.

1 pkt za $k = \frac23$ (od wierzchołka, nie od podstawy). 2 pkt za bok. 3 pkt za pole.

1. Objętość. $V = \frac13\cdot\frac12\cdot3\cdot4\cdot12 = 24$.
2. Boki $ABC$. $|AB| = 5$, $\ |AC| = \sqrt{153}$, $\ |BC| = \sqrt{160}$; wysokość trójkąta $OAB$ na $AB$: $\frac{12}{5}$, wysokość $ABC$ na $AB$ z twierdzenia o trzech prostopadłych: $\sqrt{144 + \frac{144}{25}} = \frac{12\sqrt{26}}{5}$.
3. Pole. $P_{ABC} = \frac12\cdot5\cdot\frac{12\sqrt{26}}{5} = 6\sqrt{26}$.
4. Odległość. $d = \frac{3\cdot24}{6\sqrt{26}} = \frac{12}{\sqrt{26}} = \frac{6\sqrt{26}}{13}$.

1 pkt za objętość. 2 pkt za wysokość trójkąta $ABC$ albo inną poprawną drogę do pola. 3 pkt za pole $6\sqrt{26}$. 4 pkt za $d$.