11.2 Permutacje, wariacje, kombinacje i symbol Newtona

0 Dwa pytania przed każdym zadaniem

Wzory z broszury różnią się odpowiedziami na dwa pytania. Czy kolejność ma znaczenie? Kod $123$ to co innego niż $321$ , ale delegacja Ani, Bartka i Celiny to ta sama delegacja w każdej kolejności. Czy elementy mogą się powtarzać? W kodzie PIN tak, przy rozdzielaniu medali nie. Zanim sięgniesz po wzór, odpowiedz na oba pytania. W zadaniach maturalnych zwykle jest ich kilka naraz, bo obiekt składa się z części: część liczysz kombinacją, część wariacją, a wyniki mnożysz (lekcja 11.1 Reguła mnożenia i reguła dodawania).

1 Permutacje i wariacje

Wzory (w broszurze CKE)

Permutacje: $n$ różnych elementów można ustawić w ciąg na $n!$ sposobów.
Wariacje z powtórzeniami: ciągów długości $k$ z $n$ elementów (niekoniecznie różnych wyrazów) jest $n^k$ .
Wariacje bez powtórzeń: ciągów długości $k$ o różnych wyrazach jest $\frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)\cdot\ldots\cdot(n-k+1)$ .

Wszystkie trzy to reguła mnożenia zapisana raz na zawsze. Gdy w ustawianym ciągu niektóre elementy się powtarzają (litery w słowie), dzielimy przez liczbę przestawień elementów jednakowych albo, czytelniej, wybieramy pozycje kombinacjami (część 2).

Przykład 1.1 Słowa z liter z powtórzeniem

Ile różnych „słów” (niekoniecznie mających sens) można ułożyć, przestawiając litery słowa KOTEK?

Gdyby obie litery K były różne, byłoby $5! = 120$ ustawień.
Zamiana miejscami dwóch liter K nie zmienia słowa, więc każde słowo policzyliśmy $2! = 2$ razy.

Wynik: $\frac{120}{2} = 60$ .

Przykład 1.2 Kody o różnych literach

Ile jest czteroliterowych kodów utworzonych z liter A, B, C, D, E, F, w których litery się nie powtarzają?

Kolejność ma znaczenie, bez powtórzeń: wariacje bez powtórzeń $4$ z $6$ .
$6\cdot5\cdot4\cdot3$ .

Wynik: $360$ .

Zadania · część 1

3 zadania · ok. 4 min

Na ile sposobów można ustawić $6$ osób w rzędzie?

Odpowiedź
$6! = 720$ .
Ile różnych słów można ułożyć z liter słowa ANANAS?

Odpowiedź
$\frac{6!}{3!\cdot2!} = 60$ albo pozycje: trzy A na $\binom63 = 20$ sposobów, dwie N na $\binom32 = 3$ , S na ostatnim wolnym miejscu: $\ 60$ .
Ile jest pięciocyfrowych kodów (mogą zaczynać się od zera) o różnych cyfrach?

Odpowiedź
$10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6 = 30\,240$ .

2 Kombinacje: wybierz pozycje

Kombinacje i symbol Newtona (w broszurze CKE)

Z $n$ różnych elementów można wybrać $k$ elementów (bez kolejności) na

$\displaystyle\binom nk = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$

sposobów. W praktyce: $\binom n2 = \frac{n(n-1)}{2}$ , $\ \binom n3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ , a w ogólności w liczniku $k$ kolejnych liczb malejąco od $n$ , w mianowniku $k!$ . Własności z broszury: $\binom n0 = \binom nn = 1$ , $\ \binom n1 = n$ , $\ \binom nk = \binom n{n-k}$ , $\ \binom nk + \binom n{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ .

Schemat „pozycje, potem reszta”

Gdy w ciągu (liczbie, kodzie) pewna cyfra ma wystąpić dokładnie $k$ razy, jej położenie to wybór $k$ pozycji spośród dostępnych: $\binom{\text{liczba pozycji}}{k}$ sposobów. Po wybraniu pozycji dla wszystkich wymuszonych cyfr pozostałe miejsca wypełnia się regułą mnożenia. Pozycja z ograniczeniem (pierwsza cyfra liczby nie może być zerem) idzie pierwsza, tak jak w lekcji 11.1 Reguła mnożenia i reguła dodawania.

Przykład 2.1 Dokładnie trzy jedynki i dwie dwójki

Ile jest liczb siedmiocyfrowych, w których zapisie cyfra $1$ występuje dokładnie trzy razy, cyfra $2$ dokładnie dwa razy, a dwie pozostałe cyfry są różne i należą do zbioru $\{5, 6, 7, 8, 9\}$ ?

Pozycje jedynek: $\binom73 = 35$ . Żadna z cyfr nie jest zerem, więc pierwsza pozycja nie ma ograniczeń.
Pozycje dwójek spośród $4$ wolnych: $\binom42 = 6$ .
Dwie wolne pozycje: różne cyfry z pięciu, kolejność ma znaczenie: $5\cdot4 = 20$ .
$35\cdot6\cdot20$ .

Wynik: $4200$ .

Zadania · część 2

3 zadania · ok. 6 min

Ile jest sposobów skreślenia $6$ liczb spośród $49$ (kolejność skreślania nie ma znaczenia)?

Odpowiedź
$\binom{49}{6} = 13\,983\,816$ .
Ile przekątnych ma dziesięciokąt wypukły?

Odpowiedź
Odcinków łączących dwa wierzchołki: $\binom{10}{2} = 45$ ; boków $10$ . Przekątnych $35$ .
Ile jest liczb sześciocyfrowych, w których zapisie cyfra $7$ występuje dokładnie dwa razy, a wszystkie pozostałe cyfry są parzyste?
Odpowiedź
1. Pierwsza cyfra to $7$ : druga siódemka na $\binom51 = 5$ pozycjach, cztery pozostałe cyfry parzyste (z zerem): $5\cdot5^4 = 3125$ .
2. Pierwsza cyfra parzysta, niezerowa: $4$ możliwości; siódemki na $\binom52 = 10$ sposobów; trzy pozostałe: $5^3$ . Razem $4\cdot10\cdot125 = 5000$ .
3. Suma: $8125$ .

3 Przypadki, dopełnienie, drogi w siatce

Trzy częste konstrukcje

Wybór z dwóch grup („dokładnie $2$ kobiety w komisji”): kombinacja w każdej grupie osobno, wyniki mnożymy.
„Co najmniej jeden …”: wszystkie wybory minus te, w których nie ma ani jednego. Liczenie przypadków $1, 2, 3, \ldots$ też działa, ale jest dłuższe.
Najkrótsze drogi w siatce $m\times n$ (z lewego dolnego do prawego górnego rogu, krokami w prawo i w górę): droga ma $m + n$ kroków i wyznacza ją wybór, które z nich idą w prawo: $\binom{m+n}{m}$ . Droga przez punkt $P$ : iloczyn liczby dróg z $A$ do $P$ i z $P$ do $B$ .

Przykład 3.1 Komisja

Z grupy $6$ kobiet i $5$ mężczyzn wybieramy czteroosobową komisję. Na ile sposobów można to zrobić, jeśli w komisji mają być dokładnie dwie kobiety? A jeśli co najmniej jedna kobieta?

Dokładnie dwie: $\binom62\cdot\binom52 = 15\cdot10 = 150$ .
Co najmniej jedna: wszystkich komisji $\binom{11}{4} = 330$ , komisji bez kobiet $\binom54 = 5$ ; $\ 330 - 5$ .

Wynik: $150$ i $325$ .

Przykład 3.2 Iloczyn cyfr równy $6$

Ile jest liczb pięciocyfrowych, w których iloczyn cyfr jest równy $6$ ?

Zero odpada (iloczyn byłby $0$ ). $6 = 6\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1 = 2\cdot3\cdot1\cdot1\cdot1$ ; innych rozkładów na pięć cyfr nie ma.
Cyfry $6, 1, 1, 1, 1$ : pozycja szóstki, $5$ sposobów.
Cyfry $2, 3, 1, 1, 1$ : pozycja dwójki $5$ , trójki $4$ : $\ 20$ .

Wynik: $5 + 20 = 25$ .

Przykład 3.3 Drogi przez punkt

Siatka ulic ma $4$ kwartały w poziomie i $3$ w pionie. Ile jest najkrótszych dróg z lewego dolnego rogu $A$ do prawego górnego $B$ ? Ile z nich przechodzi przez skrzyżowanie $P$ leżące $2$ kwartały w prawo i $1$ w górę od $A$ ?

Wszystkie: $7$ kroków, w tym $4$ w prawo: $\binom74 = 35$ .
Z $A$ do $P$ : $\binom31 = 3$ ; z $P$ do $B$ : $2$ w prawo i $2$ w górę, $\binom42 = 6$ .
Przez $P$ : $3\cdot6$ .

Wynik: $35$ dróg, z czego $18$ przez $P$ .

Zadania · część 3

3 zadania · ok. 6 min

Z $8$ chłopców i $6$ dziewcząt wybieramy drużynę złożoną z $3$ chłopców i $2$ dziewcząt. Na ile sposobów?

Odpowiedź
$\binom83\cdot\binom62 = 56\cdot15 = 840$ .
Na ile sposobów można rozdać $6$ różnych nagród trzem uczniom tak, by każdy dostał dwie?

Odpowiedź
Pierwszy uczeń wybiera $2$ z $6$ , drugi $2$ z $4$ , trzeci bierze resztę: $\binom62\cdot\binom42 = 15\cdot6 = 90$ .
Ile jest najkrótszych dróg w siatce $5\times2$ ?

Odpowiedź
$\binom72 = 21$ .

4 Symbol Newtona: równania, granice, dwumian

Symbol Newtona jako wielomian zmiennej $n$

Dla ustalonego $k$ symbol $\binom nk$ jest wielomianem stopnia $k$ zmiennej $n$ , np. $\binom n2 = \frac{n^2 - n}{2}$ . Stąd dwa typy zadań:

równanie z $\binom nk$ : rozpisz na wielomian, rozwiąż, odrzuć rozwiązania niebędące liczbami naturalnymi $n \ge k$ ;
granica ciągu z $\binom nk$ (lekcja 6.4 Granice ciągów i szereg geometryczny): ważny jest tylko wyraz najwyższego stopnia, $\frac{n^k}{k!}$ .

Wzór dwumianowy Newtona (w broszurze): $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom nk a^{n-k}b^k$ . Współczynnik przy $x^j$ w $(x + c)^n$ to $\binom n{j}c^{\,n-j}$ .

Przykład 4.1 Równanie

Wyznacz $n$ , dla którego $\binom n2 = 28$ .

$\frac{n(n-1)}{2} = 28$ , $\ n^2 - n - 56 = 0$ .
$n = 8$ albo $n = -7$ ; drugie odpada.

Wynik: $n = 8$ .

Przykład 4.2 Granica

Oblicz $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\binom{2n}{2}}{n^2 + 5}$ .

$\binom{2n}{2} = \frac{2n(2n-1)}{2} = 2n^2 - n$ .
$\frac{2n^2 - n}{n^2 + 5} = \frac{2 - \frac1n}{1 + \frac5{n^2}}$ .

Wynik: $2$ .

Przykład 4.3 Współczynnik w rozwinięciu

Oblicz współczynnik przy $x^2$ w rozwinięciu $(x + 2)^5$ .

Wyraz z $x^2$ : $\binom53x^2\cdot2^3$ (trzy razy wybieramy $2$ , dwa razy $x$ ).
$10\cdot8$ .

Wynik: $80$ .

Zadania · część 4

3 zadania · ok. 6 min

Wyznacz $n$ , dla którego $\binom n2 = 45$ .

Odpowiedź
$n^2 - n - 90 = 0$ , $\ n = 10$ .
Wyznacz liczbę naturalną $n \ge 3$ , dla której $\binom n3 = 2\binom n2$ .

Odpowiedź
$\frac{n(n-1)(n-2)}{6} = n(n-1)$ ; dzielimy przez $n(n-1) \ne 0$ : $\ n - 2 = 6$ , $\ n = 8$ .
Oblicz współczynnik przy $x^3$ w rozwinięciu $(2x - 1)^6$ .

Odpowiedź
$\binom63(2x)^3(-1)^3 = -20\cdot8\,x^3$ ; współczynnik $-160$ .

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 25 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · permutacje i wariacje

Zestawy A

Na ile sposobów?
1. ustawić $7$ osób w rzędzie
2. ustawić $7$ osób w rzędzie tak, by Adam i Basia nie stali obok siebie
Odpowiedzi
a) $5040$ b) $7! - 2\cdot6! = 3600$

Poziom B · kombinacje

Zestawy B

Oblicz.
1. $\binom83$
2. liczba trójkątów o wierzchołkach w $9$ punktach: $4$ na prostej $k$ , $5$ na prostej $l \parallel k$
Odpowiedzi
a) $56$ b) $\binom42\cdot5 + \binom52\cdot4 = 70$

Poziom C · schematy

Zestawy C

Ile jest możliwości?
1. $5$ kart z talii $52$ , wśród nich dokładnie $2$ asy
Odpowiedzi
a) $\binom42\binom{48}{3} = 103\,776$

Poziom D · symbol Newtona w równaniach i granicach

Zestawy D

Oblicz lub wyznacz $n$ .
1. $\binom97$
2. współczynnik przy $x^4$ w $(x + 1)^6$
Odpowiedzi
a) $36$ b) $\binom64 = 15$

Pełny trening (25 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

W arkuszach rozszerzonych 2025–2026 kombinatoryka pojawiała się jako zadanie otwarte za 2–3 punkty (kody z zadaną liczbą powtórzeń cyfr, liczby z warunkiem na iloczyn cyfr) i jako granica z symbolem Newtona. W kluczach punkt dostaje się za liczbę rozmieszczeń jednej grupy cyfr, drugi za pełny iloczyn, trzeci za wynik. W granicy z maja 2026 błędnie rozpisany symbol Newtona przy poprawnym stopniu wielomianu i konsekwentnej granicy dawał 1 punkt z 2. Informator ma też zadanie z drogami w siatce ulic za 4 punkty. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

4 zadania · 12 pkt · ok. 30 min

(0–3 pkt) Oblicz, ile jest liczb ośmiocyfrowych, w których zapisie cyfra $0$ występuje dokładnie dwa razy, cyfra $9$ dokładnie trzy razy, a trzy pozostałe cyfry są różnymi cyframi nieparzystymi mniejszymi od $9$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Zera. nie na pierwszym miejscu: dwie pozycje spośród $7$ , $\binom72 = 21$ .
2. Dziewiątki. trzy spośród $6$ wolnych (w tym pierwszej): $\binom63 = 20$ .
3. Reszta. trzy różne cyfry z $\{1, 3, 5, 7\}$ na trzech wolnych pozycjach: $4\cdot3\cdot2 = 24$ .
4. Wynik. $21\cdot20\cdot24 = 10\,080$ .
1 pkt za liczbę rozmieszczeń zer z uwzględnieniem pierwszej pozycji ( $\binom72$ ) albo za liczbę rozmieszczeń dziewiątek. 2 pkt za pełny iloczyn $\binom72\cdot\binom63\cdot4\cdot3\cdot2$ . 3 pkt za wynik $10\,080$ .
(0–2 pkt) Oblicz granicę $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\binom{n+1}{3}}{2n^3 - n + 4}$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Symbol. $\binom{n+1}{3} = \frac{(n+1)n(n-1)}{6} = \frac{n^3 - n}{6}$ .
2. Granica. $\frac{n^3 - n}{6(2n^3 - n + 4)} \to \frac{1}{12}$ .
1 pkt za zapisanie $\binom{n+1}{3}$ jako wielomianu stopnia $3$ . 2 pkt za granicę $\frac1{12}$ .
(0–3 pkt) Z grupy $7$ dziewcząt i $5$ chłopców wybieramy czteroosobową delegację, w której jest co najmniej jedna dziewczyna i co najmniej jeden chłopiec. Oblicz, na ile sposobów można to zrobić.
Rozwiązanie i punktacja
1. Wszystkie. $\binom{12}{4} = 495$ .
2. Jednopłciowe. same dziewczęta $\binom74 = 35$ , sami chłopcy $\binom54 = 5$ .
3. Wynik. $495 - 35 - 5 = 455$ .
1 pkt za liczbę wszystkich delegacji. 2 pkt za liczbę obu rodzajów delegacji jednopłciowych (albo za poprawne zliczenie trzech przypadków $1 + 3$ , $2 + 2$ , $3 + 1$ ). 3 pkt za wynik $455$ .
(0–4 pkt) Siatka ulic ma $5$ kwartałów w poziomie i $3$ w pionie. Oblicz, ile jest najkrótszych dróg z lewego dolnego rogu $A$ do prawego górnego $B$ , które nie przechodzą przez skrzyżowanie $P$ położone $2$ kwartały w prawo i $2$ w górę od $A$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Wszystkie. $8$ kroków, w tym $5$ w prawo: $\binom85 = 56$ .
2. Z A do P. $\binom42 = 6$ .
3. Z P do B. $3$ w prawo i $1$ w górę: $\binom41 = 4$ ; przez $P$ : $6\cdot4 = 24$ .
4. Wynik. $56 - 24 = 32$ .
1 pkt za liczbę wszystkich dróg. 2 pkt za liczbę dróg z $A$ do $P$ albo z $P$ do $B$ . 3 pkt za liczbę dróg przez $P$ . 4 pkt za wynik $32$ .

7 Najczęstsze błędy

„Pozycje zer: $\binom82$ .”: Zero nie może stać na początku liczby, więc wybieramy spośród $7$ pozycji. Najpierw rozmieść cyfrę z ograniczeniem.
„Delegacja $4$ osób: $12\cdot11\cdot10\cdot9$ .”: W delegacji kolejność nie ma znaczenia: $\binom{12}{4}$ . Iloczyn malejący liczy uporządkowane czwórki (np. przewodniczący, zastępca, …).
„Co najmniej jedna kobieta: $\binom61\cdot\binom{10}{3}$ .”: Wybierając „tę jedną kobietę”, a potem resztę dowolnie, liczysz komisje z kilkoma kobietami wielokrotnie. Użyj dopełnienia.
„ $\binom{n+1}{3} = \frac{(n+1)!}{3!}$ .”: Brakuje $(n-2)!$ w mianowniku. Bez rozpisania symbolu na wielomian granica wychodzi zła; klucz z 2026 roku dawał wtedy co najwyżej 1 punkt.

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Ile słów można ułożyć z liter A, A, B, B?

$\binom42 = 6$ (wybór pozycji liter A).

2 Ile wynosi

\binom{20}{18}

$\binom{20}{2} = 190$ (symetria).

3 Ile jest wszystkich podzbiorów zbioru pięcioelementowego?

$2^5 = 32$ : każdy element należy albo nie należy. To też suma $\binom50 + \binom51 + \ldots + \binom55$ .

4 Kiedy drogę przez punkt

P

liczy się iloczynem, a kiedy różnicą?

„Przez $P$ ”: iloczyn dróg $A \to P$ i $P \to B$ . „Nie przez $P$ ”: wszystkie minus przez $P$ .

9 Karta wzorów i co dalej

Wzory

permutacje $n!$ ; wariacje $n^k$ i $\frac{n!}{(n-k)!}$

kombinacje $\binom nk = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

$\binom n2 = \frac{n(n-1)}2$ , $\ \binom n3 = \frac{n(n-1)(n-2)}6$

Schematy

pozycje kombinacją, reszta mnożeniem

„co najmniej” przez dopełnienie

siatka: $\binom{m+n}{m}$ ; przez $P$ : iloczyn

Broszura CKE „Wybrane wzory matematyczne” zawiera wzory na permutacje, kombinacje i oba rodzaje wariacji (dział 13), definicję i własności symbolu Newtona (dział 4) oraz wzór dwumianowy Newtona (dział 5). Schematu „pozycje, potem reszta” i liczby dróg w siatce w broszurze nie ma.

Dalej: prawdopodobieństwo klasyczne (lekcja 12.1 Prawdopodobieństwo klasyczne), gdzie $|\Omega|$ i $|A|$ liczy się tymi samymi metodami, i schemat Bernoulliego (lekcja 12.4 Schemat Bernoulliego), w którym $\binom nk$ liczy położenia sukcesów.

0 Dwa pytania przed każdym zadaniem

1 Permutacje i wariacje

Przykład 1.1 Słowa z liter z powtórzeniem

Przykład 1.2 Kody o różnych literach

2 Kombinacje: wybierz pozycje

Przykład 2.1 Dokładnie trzy jedynki i dwie dwójki

3 Przypadki, dopełnienie, drogi w siatce

Przykład 3.1 Komisja

Przykład 3.2 Iloczyn cyfr równy 666

Przykład 3.3 Drogi przez punkt

4 Symbol Newtona: równania, granice, dwumian

Przykład 4.1 Równanie

Przykład 4.2 Granica

Przykład 4.3 Współczynnik w rozwinięciu

5 Trening rachunkowy

6 Na maturze

7 Najczęstsze błędy

8 Sprawdź się

9 Karta wzorów i co dalej

Przykład 3.2 Iloczyn cyfr równy $6$