12.4 Schemat Bernoulliego · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Powtórzenia tej samej próby

Próba Bernoulliego ma dwa wyniki: sukces z prawdopodobieństwem $p$ i porażkę z prawdopodobieństwem $q = 1 - p$ . Schemat Bernoulliego to $n$ niezależnych powtórzeń tej samej próby: rzuty kostką, rzuty monetą, losowania ze zwracaniem, kolejne niezależne rzuty do kosza. Pytamy o liczbę sukcesów, a nie o to, które próby się udały.

1 Wzór na dokładnie $k$ sukcesów

Wzór (w broszurze CKE)

$\displaystyle P_n(k) = \binom nk p^k q^{\,n-k}$

Skąd się bierze: jeden konkretny ciąg z $k$ sukcesami i $n - k$ porażkami ma prawdopodobieństwo $p^kq^{n-k}$ (iloczyn, bo próby są niezależne), a takich ciągów jest $\binom nk$ , tyle, ile sposobów wyboru pozycji sukcesów (lekcja 11.2 Permutacje, wariacje, kombinacje i symbol Newtona). W rozwiązaniu zawsze zapisz $n$ , $k$ , $p$ i $q$ : za to klucz daje pierwszy punkt.

Przykład 1.1 Dwie szóstki w pięciu rzutach

Rzucamy pięć razy kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że szóstka wypadnie dokładnie dwa razy.

$n = 5$ , $k = 2$ , $p = \frac16$ , $q = \frac56$ .
$P_5(2) = \binom52\left(\frac16\right)^2\left(\frac56\right)^3 = 10\cdot\frac{1}{36}\cdot\frac{125}{216} = \frac{1250}{7776}$ .

Wynik: $\frac{625}{3888} \approx 0{,}161$ .

Zadania · część 1

3 zadania · ok. 4 min

Rzucamy cztery razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie dokładnie dwa razy.

Odpowiedź
$\binom42\cdot\frac{1}{16} = \frac{6}{16} = \frac38$ .
Test ma $6$ pytań, każde z czterema odpowiedziami, z których jedna jest poprawna. Uczeń zgaduje wszystkie odpowiedzi. Oblicz prawdopodobieństwo, że trafi dokładnie $3$ .

Odpowiedź
$\binom63\left(\frac14\right)^3\left(\frac34\right)^3 = 20\cdot\frac{27}{4096} = \frac{135}{1024} \approx 0{,}132$ .
Oblicz $P_5(5)$ przy $p = 0{,}9$ .

Odpowiedź
$0{,}9^5 = 0{,}59049$ .

2 „Co najmniej” i „co najwyżej”

Dwa sposoby

Co najwyżej $m$ : suma $P_n(0) + P_n(1) + \ldots + P_n(m)$ . Przy małym $m$ to dwa, trzy składniki.
Co najmniej $m$ : jeśli $m$ jest małe, przez dopełnienie: $1 - P_n(0) - \ldots - P_n(m - 1)$ . Najczęstszy przypadek: co najmniej jeden sukces $= 1 - q^n$ .

Wybierz sposób z mniejszą liczbą składników. Zaokrąglaj dopiero wynik końcowy.

Przykład 2.1 Co najwyżej jeden sukces

Prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie wynosi $0{,}1$ . Wykonujemy $10$ prób. Oblicz prawdopodobieństwo co najwyżej jednego sukcesu. Wynik podaj w zaokrągleniu do części tysięcznych.

$P_{10}(0) = 0{,}9^{10}$ , $\ P_{10}(1) = 10\cdot0{,}1\cdot0{,}9^9 = 0{,}9^9$ .
Suma: $0{,}9^9(0{,}9 + 1) = 1{,}9\cdot0{,}9^9 = 1{,}9\cdot0{,}387420489\ldots$

Wynik: $\approx 0{,}736$ . Wyłączenie wspólnego czynnika $0{,}9^9$ oszczędza rachunki.

Przykład 2.2 Co najmniej jedna szóstka

Rzucamy cztery razy kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że szóstka wypadnie co najmniej raz.

Dopełnienie: żadnej szóstki, $\left(\frac56\right)^4 = \frac{625}{1296}$ .

Wynik: $1 - \frac{625}{1296} = \frac{671}{1296} \approx 0{,}518$ .

Zadania · część 2

3 zadania · ok. 6 min

Rzucamy sześć razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo co najmniej jednego orła.

Odpowiedź
$1 - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$ .
$n = 5$ , $p = 0{,}2$ . Oblicz prawdopodobieństwo co najwyżej jednego sukcesu.

Odpowiedź
$0{,}8^5 + 5\cdot0{,}2\cdot0{,}8^4 = 0{,}32768 + 0{,}4096 = 0{,}73728$ .
Rzucamy trzy razy kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że szóstka wypadnie co najmniej dwa razy.

Odpowiedź
$P_3(2) + P_3(3) = 3\cdot\frac{1}{36}\cdot\frac56 + \frac{1}{216} = \frac{15 + 1}{216} = \frac{2}{27}$ .

3 Ile prób potrzeba

Nierówność z potęgą

„Ile co najmniej prób, by prawdopodobieństwo co najmniej jednego sukcesu przekroczyło $c$ ?” prowadzi do $1 - q^n > c$ , czyli $q^n < 1 - c$ . Ponieważ $0 < q < 1$ , potęga $q^n$ maleje, więc szukamy najmniejszego $n$ , dla którego nierówność już zachodzi. Licz kolejne potęgi (albo użyj logarytmu, lekcja 1.3 Logarytmy) i sprawdź obie sąsiednie wartości $n - 1$ i $n$ .

Przykład 3.1 Ile rzutów do kosza

Zawodnik trafia z prawdopodobieństwem $0{,}3$ , a rzuty są niezależne. Ile co najmniej rzutów musi wykonać, aby prawdopodobieństwo co najmniej jednego trafienia było większe od $0{,}9$ ?

$1 - 0{,}7^n > 0{,}9 \iff 0{,}7^n < 0{,}1$ .
$0{,}7^6 \approx 0{,}118$ (za dużo), $\ 0{,}7^7 \approx 0{,}082$ (wystarcza).

Wynik: $n = 7$ .

Zadania · część 3

2 zadania · ok. 4 min

Ile co najmniej razy trzeba rzucić kostką, aby prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej jednej szóstki było większe od $\frac12$ ?

Odpowiedź
$\left(\frac56\right)^3 \approx 0{,}579$ , $\ \left(\frac56\right)^4 \approx 0{,}482 < 0{,}5$ : $\ n = 4$ .
Ile co najmniej razy trzeba rzucić monetą, aby prawdopodobieństwo co najmniej jednego orła było nie mniejsze niż $0{,}99$ ?

Odpowiedź
$0{,}5^n \le 0{,}01$ : $\ 0{,}5^6 = 0{,}015625$ , $\ 0{,}5^7 = 0{,}0078125$ ; $\ n = 7$ .

4 Kiedy to nie jest schemat Bernoulliego

Wzór wymaga, by próby były niezależne i miały to samo $p$ . Losowanie bez zwracania tego nie spełnia: po wyjęciu białej kuli szansa na następną białą maleje. Wtedy liczymy klasycznie (lekcja 12.1 Prawdopodobieństwo klasyczne). Sprawozdanie CKE z 2025 roku wymienia wśród błędów właśnie „nieuprawnione użycie schematu Bernoulliego”.

Przykład 4.1 Bez zwracania

W urnie jest $5$ kul białych i $5$ czarnych. Losujemy jednocześnie trzy kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że dokładnie dwie są białe.

Klasycznie: $\frac{\binom52\binom51}{\binom{10}{3}} = \frac{50}{120} = \frac{5}{12}$ .
Błędnie Bernoullim: $\binom32\left(\frac12\right)^3 = \frac38$ . Wynik jest inny, bo losowania nie są niezależne.

Wynik: $\frac{5}{12}$ . Schemat Bernoulliego pasowałby, gdyby losować trzy razy ze zwracaniem.

Zadania · część 4

1 zadanie · ok. 2 min

Które z doświadczeń jest schematem Bernoulliego (podaj $n$ i $p$ )? a) $4$ rzuty kostką, liczba szóstek; b) $3$ karty wyciągnięte z talii bez zwracania, liczba asów; c) $5$ losowań ze zwracaniem z urny z $3$ kulami białymi i $2$ czarnymi, liczba białych.

Odpowiedź
a) tak, $n = 4$ , $p = \frac16$ ; b) nie (bez zwracania); c) tak, $n = 5$ , $p = \frac35$ .

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 18 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · wzór

Zestawy A

Oblicz.
1. $P_3(1)$ , $p = \frac12$
2. $P_6(2)$ , $p = \frac16$
Odpowiedzi
a) $\frac38$ b) $\frac{9375}{46\,656} \approx 0{,}201$

Poziom B · co najmniej, co najwyżej

Zestawy B

Oblicz.
1. $n = 3$ , $p = 0{,}4$ : co najmniej jeden sukces
Odpowiedzi
a) $1 - 0{,}6^3 = 0{,}784$

Poziom C · ile prób

Zestawy C

Najmniejsze $n$ , dla którego prawdopodobieństwo co najmniej jednego sukcesu spełnia warunek.
1. $p = 0{,}5$ , większe od $0{,}9$
Odpowiedzi
a) $n = 4$

Poziom D · rozpoznawanie

Zestawy D

Czy to schemat Bernoulliego? Jeśli tak, podaj $n$ i $p$ .
1. $4$ rzuty kostką, liczba szóstek
Odpowiedzi
a) tak, $n = 4$ , $p = \frac16$

Pełny trening (18 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

Jedyne zadanie egzaminacyjne z lat 2024–2026 (czerwiec 2025) dotyczyło „co najwyżej jednego sukcesu” w $10$ próbach. Klucz: 1 punkt za $p$ i $q$ , 2 punkty za sumę $P(S = 0) + P(S = 1)$ , 3 punkty za wynik. Same składniki bez sumy dawały co najwyżej 1 punkt; błędnie odczytane $p$ przy konsekwentnym rachunku dawało 2 punkty. Zadanie z informatora pyta o liczbę prób. Danych o łatwości z sesji majowych nie ma. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

3 zadania · 10 pkt · ok. 25 min

(0–3 pkt) Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana żarówka jest wadliwa, jest równe $0{,}05$ . Kupujemy $8$ żarówek. Oblicz prawdopodobieństwo, że co najwyżej jedna z nich jest wadliwa. Wynik podaj w zaokrągleniu do części tysięcznych.
Rozwiązanie i punktacja
1. Parametry. $n = 8$ , sukces — żarówka wadliwa, $p = 0{,}05$ , $q = 0{,}95$ .
2. Suma. $P_8(0) + P_8(1) = 0{,}95^8 + 8\cdot0{,}05\cdot0{,}95^7 = 0{,}95^7(0{,}95 + 0{,}4) = 1{,}35\cdot0{,}95^7$ .
3. Wynik. $0{,}95^7 \approx 0{,}69834$ , $\ 1{,}35\cdot0{,}69834 \approx 0{,}943$ .
1 pkt za $n$ , $p$ , $q$ . 2 pkt za sumę $P_8(0) + P_8(1)$ z poprawnymi składnikami. 3 pkt za $\approx 0{,}943$ .
(0–3 pkt) Ile co najmniej razy trzeba rzucić symetryczną monetą, aby prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej reszki było większe od $0{,}999$ ?
Rozwiązanie i punktacja
1. Nierówność. $1 - \left(\frac12\right)^n > 0{,}999 \iff 2^n > 1000$ .
2. Sąsiednie potęgi. $2^9 = 512$ , $\ 2^{10} = 1024$ .
3. Wynik. $n = 10$ .
1 pkt za nierówność $1 - 0{,}5^n > 0{,}999$ . 2 pkt za postać $2^n > 1000$ albo $0{,}5^n < 0{,}001$ . 3 pkt za $n = 10$ ze sprawdzeniem $n = 9$ .
(0–4 pkt) Rzucamy pięć razy kostką sześcienną. Oblicz prawdopodobieństwo, że szóstka wypadnie co najmniej dwa razy. Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.
Rozwiązanie i punktacja
1. Parametry. $n = 5$ , $p = \frac16$ , $q = \frac56$ .
2. Składniki dopełnienia. $P_5(0) = \frac{3125}{7776}$ , $\ P_5(1) = 5\cdot\frac16\cdot\frac{625}{1296} = \frac{3125}{7776}$ .
3. Dopełnienie. $1 - \frac{6250}{7776} = \frac{1526}{7776}$ .
4. Wynik. $\frac{763}{3888} \approx 0{,}196$ .
1 pkt za $n$ , $p$ , $q$ . 2 pkt za $P_5(0)$ i $P_5(1)$ . 3 pkt za zapis $1 - P_5(0) - P_5(1)$ . 4 pkt za $\frac{763}{3888}$ .

7 Najczęstsze błędy

„Dokładnie dwa sukcesy: $p^2q^{n-2}$ .”: To prawdopodobieństwo jednego konkretnego ciągu. Brakuje $\binom n2$ , czyli wyboru, które próby są sukcesami.
„Co najmniej jeden: $n\cdot p$ .”: To nie jest prawdopodobieństwo (dla $n = 10$ , $p = 0{,}2$ dałoby $2$ ). Poprawnie: $1 - q^n$ .
„Losowanie bez zwracania: Bernoulli.”: Bez zwracania próby nie są niezależne. Licz klasycznie.
„ $0{,}95^7 \approx 0{,}7$ , więc wynik $\approx 0{,}945$ .”: Zaokrąglanie po drodze zmienia trzecią cyfrę wyniku. Zaokrąglaj tylko wynik końcowy.

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Ile wynosi

P_n(0)

$q^n$ .

2 Ile wynosi prawdopodobieństwo co najmniej jednego orła w trzech rzutach monetą?

$1 - \frac18 = \frac78$ .

3 Dlaczego we wzorze jest

\binom nk

Tyle jest ciągów prób z $k$ sukcesami; każdy ma prawdopodobieństwo $p^kq^{n-k}$ .

4 Kiedy „co najmniej

m

” liczyć przez dopełnienie?

Gdy $m$ jest małe: dopełnienie ma wtedy tylko $m$ składników ( $k = 0, \ldots, m - 1$ ).

9 Karta wzorów i co dalej

Wzory

$P_n(k) = \binom nk p^kq^{n-k}$ , $\ q = 1 - p$

co najmniej jeden: $1 - q^n$

co najwyżej jeden: $q^n + npq^{n-1}$

Metoda

zapisz $n$ , $k$ , $p$ , $q$

mniej składników: suma albo dopełnienie

ile prób: $q^n < 1 - c$ , sprawdź $n - 1$ i $n$

W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” (dział 14) jest definicja próby i schematu Bernoulliego oraz wzór na $P_n(k)$ . Wzoru $1 - q^n$ i metody „ile prób” w broszurze nie ma.

Dalej: rachunek różniczkowy, zaczynając od granic i ciągłości funkcji (lekcja 13.1 Granice i ciągłość funkcji, własność Darboux).