Matematyka i fizyka od podstaw
PLEN

Matura z matematyki › 12.4 Schemat Bernoulliego › Trening · PDF do druku

Matura · poziom rozszerzony · trening 12.4

Trening: schemat Bernoulliego

Zestawy krótkich przykładów do lekcji 12.4 Schemat Bernoulliego: wzór na Pn(k)P_n(k), „co najmniej” i „co najwyżej”, liczba prób i rozpoznawanie schematu. Na końcu zadania w stylu arkusza rozszerzonego.

Poziom A · wzór

Zestawy A

1 zestaw

  1. Oblicz.

    1. P3(1)P_3(1), p=12p = \frac12
    2. P4(2)P_4(2), p=13p = \frac13
    3. P5(0)P_5(0), p=0,1p = 0{,}1
    4. P10(10)P_{10}(10), p=12p = \frac12
    5. P6(2)P_6(2), p=16p = \frac16
    Odpowiedzi

    a) 38\frac38   b) 6⋅19⋅49=8276\cdot\frac19\cdot\frac49 = \frac{8}{27}   c) 0,590490{,}59049   d) 11024\frac{1}{1024}   e) 937546 656≈0,201\frac{9375}{46\,656} \approx 0{,}201

Poziom B · co najmniej, co najwyżej

Zestawy B

1 zestaw

  1. Oblicz.

    1. n=3n = 3, p=0,4p = 0{,}4: co najmniej jeden sukces
    2. n=4n = 4, p=0,5p = 0{,}5: co najwyżej jeden
    3. n=5n = 5, p=0,5p = 0{,}5: co najmniej cztery
    4. n=4n = 4, p=0,1p = 0{,}1: co najmniej dwa
    5. n=10n = 10, p=0,5p = 0{,}5: co najmniej jeden
    Odpowiedzi

    a) 1−0,63=0,7841 - 0{,}6^3 = 0{,}784   b) 516\frac{5}{16}   c) 632=316\frac{6}{32} = \frac{3}{16}   d) 1−0,6561−0,2916=0,05231 - 0{,}6561 - 0{,}2916 = 0{,}0523   e) 10231024\frac{1023}{1024}

Poziom C · ile prób

Zestawy C

1 zestaw

  1. Najmniejsze nn, dla którego prawdopodobieństwo co najmniej jednego sukcesu spełnia warunek.

    1. p=0,5p = 0{,}5, większe od 0,90{,}9
    2. p=0,2p = 0{,}2, większe od 0,50{,}5
    3. p=0,1p = 0{,}1, nie mniejsze niż 0,60{,}6
    Odpowiedzi

    a) n=4n = 4   b) 0,84≈0,410{,}8^4 \approx 0{,}41:  n=4\ n = 4   c) 0,99≈0,3870{,}9^9 \approx 0{,}387:  n=9\ n = 9

Poziom D · rozpoznawanie

Zestawy D

1 zestaw

  1. Czy to schemat Bernoulliego? Jeśli tak, podaj nn i pp.

    1. 44 rzuty kostką, liczba szóstek
    2. 33 karty z talii bez zwracania, liczba asów
    3. 55 losowań ze zwracaniem z urny 33 b, 22 c, liczba białych
    Odpowiedzi

    a) tak, n=4n = 4, p=16p = \frac16   b) nie   c) tak, n=5n = 5, p=35p = \frac35

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu rozszerzonym CKE: zadania otwarte z punktowanymi etapami.

Zadania w stylu arkusza

2 zadania · 6 pkt

  1. (0–3 pkt) Koszykarz trafia rzut wolny z prawdopodobieństwem 0,70{,}7, a rzuty są niezależne. Wykonuje 44 rzuty. Oblicz prawdopodobieństwo, że trafi co najmniej 33 razy. Wynik podaj z dokładnością do części dziesięciotysięcznych.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Parametry. n=4n = 4, p=0,7p = 0{,}7, q=0,3q = 0{,}3.
    2. Suma. P4(3)+P4(4)=4⋅0,343⋅0,3+0,2401=0,4116+0,2401P_4(3) + P_4(4) = 4\cdot0{,}343\cdot0{,}3 + 0{,}2401 = 0{,}4116 + 0{,}2401.
    3. Wynik. 0,65170{,}6517.

    1 pkt za parametry. 2 pkt za sumę P4(3)+P4(4)P_4(3) + P_4(4). 3 pkt za 0,65170{,}6517.

  2. (0–3 pkt) Prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie jest równe 0,40{,}4. Ile co najmniej niezależnych prób trzeba wykonać, aby prawdopodobieństwo co najmniej jednego sukcesu było większe od 0,990{,}99?

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Nierówność. 0,6n<0,010{,}6^n < 0{,}01.
    2. Potęgi. 0,69≈0,01010{,}6^9 \approx 0{,}0101 (za dużo),  0,610≈0,0060\ 0{,}6^{10} \approx 0{,}0060.
    3. Wynik. n=10n = 10.

    1 pkt za nierówność. 2 pkt za porównanie 0,690{,}6^9 i 0,6100{,}6^{10} z 0,010{,}01. 3 pkt za n=10n = 10.