12.2 Statystyka: średnie, mediana, dominanta · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Trzy liczby opisujące dane

Średnia to suma danych podzielona przez ich liczbę. Mediana to wartość środkowa po uporządkowaniu danych. Dominanta (moda) to wartość występująca najczęściej. Te trzy liczby mogą się bardzo różnić: dla danych $1, 2, 100$ średnia wynosi $34{,}(3)$ , a mediana $2$ . Jedna duża wartość ciągnie średnią, ale prawie nie zmienia mediany.

1 Średnia arytmetyczna: myśl o sumie

Średnia (w broszurze CKE)

$\displaystyle\bar a = \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}$ , czyli $\ a_1 + a_2 + \ldots + a_n = n\cdot\bar a$ .

Druga postać rozwiązuje większość zadań: znając średnią i liczbę danych, znasz ich sumę. Dopisanie, usunięcie albo zmiana jednej liczby zmienia sumę o znaną wielkość.

Przykład 1.1 Dopisana liczba

Średnia arytmetyczna pięciu liczb jest równa $6$ . Po dopisaniu szóstej liczby średnia wzrosła do $7$ . Jaką liczbę dopisano?

Suma pięciu liczb: $5\cdot6 = 30$ . Suma sześciu: $6\cdot7 = 42$ .
$x = 42 - 30$ .

Wynik: $12$ .

Przykład 1.2 Brakująca dana

Średnia arytmetyczna liczb $2, 4, 6, 8, x$ jest równa $6$ . Oblicz $x$ .

$2 + 4 + 6 + 8 + x = 5\cdot6 = 30$ .
$x = 30 - 20$ .

Wynik: $x = 10$ .

Zadania · część 1

3 zadania · ok. 4 min

Średnia ocen $4, 5, 3, 5, x$ jest równa $4{,}2$ . Oblicz $x$ .

Odpowiedź
Suma $5\cdot4{,}2 = 21$ , $\ x = 21 - 17 = 4$ .
Średnia dziesięciu liczb jest równa $8$ . Usunięto z nich liczbę $17$ . Oblicz średnią pozostałych dziewięciu liczb.

Odpowiedź
$\frac{80 - 17}{9} = \frac{63}{9} = 7$ .
Średnia liczb $a, b, c$ jest równa $5$ . Oblicz średnią liczb $2a + 1$ , $2b + 1$ , $2c + 1$ .

Odpowiedź
$\frac{2(a + b + c) + 3}{3} = \frac{2\cdot15 + 3}{3} = 11$ . Ogólnie: przekształcenie liniowe danych przekształca tak samo średnią, $2\cdot5 + 1$ .

2 Średnia ważona, tabela liczności, łączenie grup

Średnia ważona (w broszurze CKE)

$\displaystyle\bar s = \frac{w_1a_1 + w_2a_2 + \ldots + w_na_n}{w_1 + w_2 + \ldots + w_n}$

Tabela liczności to średnia ważona: wagami są liczby osób z danym wynikiem, a mianownikiem liczba wszystkich osób, nie liczba kolumn.
Łączenie grup: średnia całości to średnia ważona średnich grup z wagami równymi liczebnościom grup. Zwykła średnia dwóch średnich jest poprawna tylko wtedy, gdy grupy są równe.

Przykład 2.1 Średnia z tabeli

Tabela przedstawia oceny ze sprawdzianu w klasie. Oblicz średnią ocen.

ocena	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
liczba uczniów	$1$	$3$	$6$	$8$	$5$	$2$

Liczba uczniów: $1 + 3 + 6 + 8 + 5 + 2 = 25$ .
Suma ocen: $1\cdot1 + 2\cdot3 + 3\cdot6 + 4\cdot8 + 5\cdot5 + 6\cdot2 = 94$ .

Wynik: $\frac{94}{25} = 3{,}76$ .

Przykład 2.2 Dwie klasy

W klasie A jest $20$ uczniów, ich średnia z egzaminu to $4{,}0$ . W klasie B jest $30$ uczniów, ich średnia to $3{,}5$ . Oblicz średnią wszystkich $50$ uczniów.

Sumy: $20\cdot4{,}0 = 80$ i $30\cdot3{,}5 = 105$ .
$\frac{80 + 105}{50}$ .

Wynik: $3{,}7$ , a nie $3{,}75$ . Większa klasa B ciągnie średnią w swoją stronę.

Zadania · część 2

3 zadania · ok. 5 min

Uczeń dostał $4$ ze sprawdzianu (waga $3$ ), $5$ z kartkówki (waga $2$ ) i $3$ z odpowiedzi (waga $1$ ). Oblicz średnią ważoną.

Odpowiedź
$\frac{12 + 10 + 3}{6} = \frac{25}{6} \approx 4{,}17$ .
Liczebności dwóch grup są w stosunku $2 : 3$ , a średnie wyników w tych grupach to $70$ i $80$ punktów. Oblicz średnią wszystkich uczestników.

Odpowiedź
Grupy $2k$ i $3k$ : $\ \frac{2k\cdot70 + 3k\cdot80}{5k} = \frac{380}{5} = 76$ .
Oblicz średnią ocen z tabeli: ocena $2$ , $3$ , $4$ , $5$ ; liczba uczniów odpowiednio $4$ , $10$ , $8$ , $3$ .

Odpowiedź
$\frac{8 + 30 + 32 + 15}{25} = \frac{85}{25} = 3{,}4$ .

3 Mediana i dominanta

Mediana (w broszurze CKE) i dominanta

Uporządkuj dane niemalejąco. Dla $n$ nieparzystego mediana to wyraz środkowy $a_{\frac{n+1}{2}}$ . Dla $n$ parzystego to średnia dwóch środkowych: $\frac12\left(a_{\frac n2} + a_{\frac n2 + 1}\right)$ .
Z tabeli liczności: dopisuj liczności narastająco (skumulowane) i sprawdź, w której kolumnie wypada pozycja $\frac n2$ , a w której $\frac n2 + 1$ . Jeśli w różnych, mediana jest średnią tych dwóch wartości.
Dominanta: wartość o największej liczności. Może być kilka dominant; wtedy podaje się wszystkie.

Przykład 3.1 Sześć danych

Wyznacz medianę i dominantę danych $7, 3, 9, 3, 5, 8$ .

Uporządkowane: $3, 3, 5, 7, 8, 9$ ; $\ n = 6$ , środkowe to trzecia i czwarta: $5$ i $7$ .
Mediana $\frac{5 + 7}{2} = 6$ ; dominanta $3$ (występuje dwa razy).

Wynik: mediana $6$ , dominanta $3$ . Mediana nie musi być żadną z danych.

Przykład 3.2 Mediana z tabeli liczności

Tabela przedstawia wyniki $20$ uczniów w teście za $0$ – $5$ punktów. Wyznacz medianę, dominantę i średnią. Ilu uczniów uzyskało wynik niższy od średniej?

punkty	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
liczba uczniów	$2$	$3$	$5$	$6$	$3$	$1$
narastająco	$2$	$5$	$10$	$16$	$19$	$20$

$n = 20$ : środkowe są pozycje $10$ i $11$ . Pozycja $10$ wypada w kolumnie „ $2$ ” (narastająco $10$ ), pozycja $11$ już w kolumnie „ $3$ ”. Mediana $\frac{2 + 3}{2} = 2{,}5$ .
Dominanta: $3$ (liczność $6$ ).
Średnia: $\frac{0 + 3 + 10 + 18 + 12 + 5}{20} = \frac{48}{20} = 2{,}4$ .
Poniżej $2{,}4$ są wyniki $0, 1, 2$ : $\ 2 + 3 + 5 = 10$ uczniów.

Wynik: mediana $2{,}5$ , dominanta $3$ , średnia $2{,}4$ ; poniżej średniej $10$ uczniów.

Zadania · część 3

3 zadania · ok. 5 min

Wyznacz medianę i dominantę danych $4, 1, 7, 7, 2, 9, 5$ .

Odpowiedź
$1, 2, 4, 5, 7, 7, 9$ : mediana $5$ , dominanta $7$ .
Dane $3, 5, x, 8$ są uporządkowane niemalejąco, a ich mediana jest równa $6$ . Oblicz $x$ .

Odpowiedź
$\frac{5 + x}{2} = 6$ , $\ x = 7$ (spełnia $5 \le 7 \le 8$ ).
Wyniki $20$ osób: $1$ pkt — $5$ osób, $2$ pkt — $7$ osób, $3$ pkt — $4$ osoby, $4$ pkt — $4$ osoby. Wyznacz medianę i średnią.

Odpowiedź
Narastająco $5, 12, 16, 20$ : pozycje $10$ i $11$ obie w kolumnie „ $2$ ”, mediana $2$ . Średnia $\frac{5 + 14 + 12 + 16}{20} = \frac{47}{20} = 2{,}35$ .

4 Dane z diagramu

Dane bywają podane diagramem słupkowym (wysokość słupka to liczność) albo kołowym (procenty całości). Przy diagramie kołowym najpierw zamień procenty na liczności, mnożąc przez liczbę wszystkich danych, a potem licz jak z tabeli.

Przykład 4.1 Diagram kołowy

Diagram kołowy przedstawia liczbę rodzeństwa $40$ uczniów: $40\%$ nie ma rodzeństwa, $35\%$ ma jedno, $15\%$ dwoje, $10\%$ troje. Oblicz średnią, medianę i dominantę.

Liczności: $16$ , $14$ , $6$ , $4$ ; narastająco $16, 30, 36, 40$ .
Średnia: $\frac{0 + 14 + 12 + 12}{40} = \frac{38}{40} = 0{,}95$ .
Mediana: pozycje $20$ i $21$ obie w kolumnie „ $1$ ”; mediana $1$ . Dominanta $0$ .

Wynik: średnia $0{,}95$ , mediana $1$ , dominanta $0$ . Trzy różne liczby z tych samych danych.

Zadania · część 4

1 zadanie · ok. 3 min

Diagram kołowy pokazuje, ile godzin dziennie $50$ uczniów spędza przy komputerze: $20\%$ dwie godziny, $30\%$ trzy, $50\%$ cztery. Oblicz średnią i medianę.

Odpowiedź
Liczności $10, 15, 25$ . Średnia $\frac{20 + 45 + 100}{50} = 3{,}3$ . Pozycje $25$ i $26$ : narastająco $10, 25, 50$ , więc $25$ . dana to $3$ , a $26$ . to $4$ ; mediana $3{,}5$ .

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 24 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · średnia arytmetyczna

Zestawy A

Oblicz.
1. średnia liczb $3, 5, 7, 9$
2. średnia liczb $a + 3$ , $b + 3$ , $c + 3$ , gdy średnia $a, b, c$ to $5$
Odpowiedzi
a) $6$ b) $8$

Poziom B · średnia ważona i grupy

Zestawy B

Oblicz.
1. ocena $5$ z wagą $2$ i ocena $3$ z wagą $1$
2. $x$ , gdy oceny $4$ (waga $1$ ), $5$ (waga $2$ ), $x$ (waga $1$ ) mają średnią ważoną $4{,}5$
Odpowiedzi
a) $\frac{13}{3} \approx 4{,}33$ b) $4$

Poziom C · mediana i dominanta

Zestawy C

Wyznacz.
1. mediana $8, 2, 6, 4, 10$
2. $x$ , gdy dane $1, 4, x, 7$ są uporządkowane, a mediana to $5$
Odpowiedzi
a) $6$ b) $6$

Poziom D · tabela i diagram

Zestawy D

Oblicz.
1. wartości $0, 1, 2, 3$ z licznościami $3, 5, 8, 4$ : średnia, mediana, dominanta
Odpowiedzi
a) $1{,}65$ ; $\ 2$ ; $\ 2$

Pełny trening (24 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

W arkuszach podstawowych 2024–2026 statystyka to zadania zamknięte (średnia z brakującą daną, średnia dwóch grup) i zadania z luką za 1–3 punkty na podstawie tabeli albo diagramu: „średnia jest równa …”, „mediana jest równa …”, „liczba uczniów z wynikiem niższym od średniej to …”. Za każde zdanie jest osobny punkt, a klucz nie przyjmuje wyników zaokrąglonych. Łatwość w maju 2025: $91\%$ (średnia) i $70\%$ (zadanie otwarte); w maju 2026: $68\%$ i $74\%$ . Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

5 zadań · 8 pkt · ok. 15 min

(0–1 pkt) Średnia arytmetyczna liczb $4, 8, x, 12, 6$ jest równa $8$ . Wtedy $x$ jest równe

A. $6$ B. $8$ C. $10$ D. $12$

Odpowiedź
C. Suma $40$ , $\ x = 40 - 30$ .
(0–1 pkt) W klasie jest $15$ dziewcząt o średnim wzroście $165$ cm i $10$ chłopców o średnim wzroście $175$ cm. Średni wzrost wszystkich uczniów tej klasy jest równy

A. $168$ cmB. $169$ cmC. $170$ cmD. $171$ cm

Odpowiedź
B. $\frac{15\cdot165 + 10\cdot175}{25} = \frac{4225}{25}$ .
(0–1 pkt) Mediana danych $5, 2, 9, 4, 7, 1$ jest równa

A. $4$ B. $4{,}5$ C. $5$ D. $5{,}5$

Odpowiedź
B. $1, 2, 4, 5, 7, 9$ : $\ \frac{4 + 5}{2}$ . Odpowiedź C to „środek” nieuporządkowanej listy.
(0–3 pkt) Tabela przedstawia liczbę książek przeczytanych w wakacje przez $30$ uczniów.

liczba książek $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$

liczba uczniów $2$ $7$ $6$ $9$ $4$ $2$

Uzupełnij zdania. 1. Średnia liczba przeczytanych książek jest równa ……… . 2. Mediana liczby przeczytanych książek jest równa ……… . 3. Więcej książek, niż wynosi średnia, przeczytało ……… uczniów.
Rozwiązanie i punktacja
1. Średnia. $\frac{0 + 7 + 12 + 27 + 16 + 10}{30} = \frac{72}{30} = 2{,}4$ .
2. Mediana. narastająco $2, 9, 15, 24, 28, 30$ : pozycja $15$ to $2$ , pozycja $16$ to $3$ ; mediana $2{,}5$ .
3. Powyżej średniej. wyniki $3, 4, 5$ : $\ 9 + 4 + 2 = 15$ .
1 pkt za każde poprawnie uzupełnione zdanie: $2{,}4$ ; $\ 2{,}5$ ; $\ 15$ .
(0–2 pkt) Pięć liczb naturalnych ma średnią arytmetyczną $6$ , medianę $7$ i jedną dominantę równą $8$ . Najmniejsza z tych liczb to $1$ . Wyznacz wszystkie te liczby.
Rozwiązanie i punktacja
1. Struktura. uporządkowane: $1 \le b \le 7 \le d \le e$ , suma $5\cdot6 = 30$ .
2. Dominanta. $8$ musi wystąpić co najmniej dwa razy, a może stać tylko na miejscach czwartym i piątym: $d = e = 8$ .
3. Wynik. $b = 30 - 1 - 7 - 16 = 6$ . Liczby: $1, 6, 7, 8, 8$ .
1 pkt za sumę $30$ i $d = e = 8$ . 2 pkt za wszystkie liczby.

liczba książek	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
liczba uczniów	$2$	$7$	$6$	$9$	$4$	$2$

7 Najczęstsze błędy

„Mediana to środkowa liczba z listy.”: Środkowa po uporządkowaniu. Przy parzystej liczbie danych to średnia dwóch środkowych.
„Mediana z tabeli to środkowa kolumna.”: Kolumny to wartości, nie dane. Liczy się pozycja w pełnej uporządkowanej liście: użyj liczności narastających.
„Średnia z tabeli: suma liczności przez liczbę kolumn.”: Licznik to suma (wartość × liczność), mianownik to liczba wszystkich danych.
„Średnia dwóch klas: $\frac{4{,}0 + 3{,}5}{2}$ .”: Tylko przy równych klasach. W ogólności średnia ważona liczebnościami.

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Która z liczb, średnia czy mediana, bardziej zmieni się po zamianie danych

1, 2, 3

1, 2, 100

Średnia (z $2$ na $34{,}(3)$ ); mediana zostaje $2$ .

10

osób ma średnią

3

, a

30

osób średnią

5

. Ile wynosi średnia wszystkich?

$\frac{30 + 150}{40} = 4{,}5$ .

3 Ile dominant mają dane

1, 1, 2, 2, 3

Dwie: $1$ i $2$ .

4 Dla

n = 30

danych które pozycje decydują o medianie?

$15$ . i $16.$ po uporządkowaniu.

9 Karta wzorów i co dalej

Średnie

suma $= n\cdot\bar a$

ważona: $\frac{\sum w_ia_i}{\sum w_i}$

dwie grupy: ważona liczebnościami

Mediana i dominanta

uporządkuj; $n$ parzyste: średnia dwóch środkowych

tabela: liczności narastająco

dominant może być kilka

W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” (dział 15) są średnia arytmetyczna, ważona, geometryczna i kwadratowa, mediana oraz wariancja i odchylenie standardowe. Dominanty i liczności narastających w broszurze nie ma. Odchylenia standardowego nie ma w zadaniach informatora dla poziomu podstawowego z 2024 roku, dlatego ta lekcja go pomija.

Dalej: arkusz próbny (lekcja 14.1 Arkusz próbny: poziom podstawowy) albo, na poziomie rozszerzonym, prawdopodobieństwo warunkowe (lekcja 12.3 Prawdopodobieństwo warunkowe, całkowite i wzór Bayesa).