Arkusz próbny do rozwiązania: poziom rozszerzony

(0–2 pkt) Oblicz granicę $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2 + 3n} - n\right)$.

(0–3 pkt) Rozwiąż nierówność $|x - 1| + |x + 2| \le 5$.

(0–3 pkt) Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $a^3 + b^3 \ge a^2b + ab^2$.

(0–4 pkt) Rozwiąż równanie $\sin 2x = \cos x$ w przedziale $[0, 2\pi]$.

(0–5 pkt) Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$, $x_2$ spełniające warunek $x_1^2 + x_2^2 = 8$.

(0–3 pkt) Z cyfr $1, 2, 3, 4, 5, 6$ tworzymy losowo liczbę sześciocyfrową o różnych cyfrach. Oblicz prawdopodobieństwo, że cyfry $1$ i $2$ nie stoją obok siebie.

(0–4 pkt) Maszyna I wytwarza $60\%$, a maszyna II $40\%$ wszystkich detali. Wadliwych jest $3\%$ detali z maszyny I i $5\%$ z maszyny II. Losowo wybrany detal okazał się wadliwy. Oblicz prawdopodobieństwo, że wytworzyła go maszyna II. Wynik podaj w zaokrągleniu do części setnych.

(0–4 pkt) Wyznacz wszystkie wartości $m$, dla których prosta $y = x + m$ jest styczna do okręgu $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 20 = 0$.

(0–3 pkt) Czworokąt wypukły $ABCD$ jest wpisany w okrąg i $|AB| = |BC|$. Wykaż, że przekątna $DB$ jest dwusieczną kąta $ADC$.

(0–5 pkt) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDS$ krawędź podstawy ma długość $6$, a wysokość ostrosłupa jest równa $3$. Oblicz miarę kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi $ABS$ i $BCS$.

(0–3 pkt) Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$ w punkcie o odciętej $2$.

(0–4 pkt) Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego jest równa $12$, a suma kwadratów wszystkich jego wyrazów jest równa $48$. Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu.

(0–7 pkt) Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany o podstawie kwadratowej, w których suma długości wszystkich dwunastu krawędzi jest równa $24$.

13.1. (0–3 pkt) Wykaż, że objętość takiego prostopadłościanu o krawędzi podstawy $a$ wyraża się wzorem $V(a) = 6a^2 - 2a^3$ dla $a \in (0, 3)$.

13.2. (0–4 pkt) Wyznacz wymiary prostopadłościanu o największej objętości i tę objętość.