8.6 Czworokąty wpisane i opisane, twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa

0 Dwa warunki

Na każdym trójkącie da się opisać okrąg i w każdy trójkąt da się okrąg wpisać. Z czworokątami tak nie jest. Okrąg da się opisać tylko wtedy, gdy przeciwległe kąty dopełniają się do $180^\circ$ (bo są wpisane i oparte na łukach, które razem dają cały okrąg). Okrąg da się wpisać tylko wtedy, gdy sumy przeciwległych boków są równe (bo odcinki styczne z każdego wierzchołka są równe). Oba warunki są w broszurze CKE. Zadanie polega na zamianie ich na równania.

1 Czworokąt wpisany w okrąg

Warunek i jego konsekwencje

Na czworokącie $ABCD$ można opisać okrąg $\iff \alpha + \gamma = \beta + \delta = 180^\circ$ .
Wtedy $\cos\gamma = -\cos\alpha$ i $\sin\gamma = \sin\alpha$ . Przekątna $BD$ z dwóch trójkątów: $|BD|^2 = a^2 + d^2 - 2ad\cos\alpha = b^2 + c^2 + 2bc\cos\alpha,$ gdzie $a = |AB|$ , $d = |AD|$ , $b = |BC|$ , $c = |CD|$ . Jedno równanie, jedna niewiadoma $\cos\alpha$ .
Pole: $P = \frac12(ad + bc)\sin\alpha$ ; promień z twierdzenia sinusów: $2R = \frac{|BD|}{\sin\alpha}$ .
Kąt prosty i średnica: jeśli $\angle ABC = 90^\circ$ , to $B$ leży na okręgu o średnicy $AC$ . W czworokącie wpisanym z kątem prostym przy $B$ przekątna $AC$ jest średnicą, a kąt przy $D$ też jest prosty.

Przykład 1.1 Kąt z cosinusów dla wspólnej przekątnej

Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg, $|AB| = |AD| = 7$ , $|BC| = 3$ , $|CD| = 5$ . Oblicz $\angle BAD$ , $|BD|$ i pole czworokąta.

$\angle BCD = 180^\circ - \alpha$ , więc $\cos\angle BCD = -\cos\alpha$ .
$|BD|^2 = 49 + 49 - 98\cos\alpha = 9 + 25 + 30\cos\alpha$ , czyli $64 = 128\cos\alpha$ , $\ \cos\alpha = \frac12$ , $\ \alpha = 60^\circ$ .
$|BD|^2 = 98 - 49 = 49$ , $\ |BD| = 7$ .
$P = \frac12(7\cdot7 + 3\cdot5)\sin60^\circ = \frac12\cdot64\cdot\frac{\sqrt3}{2}$ .

Wynik: $\angle BAD = 60^\circ$ , $\ |BD| = 7$ , $\ P = 16\sqrt3$ .

Przykład 1.2 Kąt prosty, czyli średnica

Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg, $\angle ABC = 90^\circ$ , $|AB| = 6$ , $|BC| = 8$ , $|AD| = |CD|$ . Oblicz promień okręgu, $|AD|$ i pole czworokąta.

Kąt prosty przy $B$ : $AC$ jest średnicą, $|AC| = 10$ , $R = 5$ .
$\angle ADC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ i $|AD| = |CD|$ : trójkąt prostokątny równoramienny, $|AD| = \frac{10}{\sqrt2} = 5\sqrt2$ .
$P = \frac12\cdot6\cdot8 + \frac12\cdot(5\sqrt2)^2 = 24 + 25$ .

Wynik: $R = 5$ , $\ |AD| = 5\sqrt2$ , $\ P = 49$ .

Zadania · część 1

3 zadania · ok. 5 min

Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg, $\angle A = 75^\circ$ , $\angle B = 110^\circ$ . Oblicz $\angle C$ i $\angle D$ .

Odpowiedź
$\angle C = 105^\circ$ , $\ \angle D = 70^\circ$ .
Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg, $\angle ABC = 90^\circ$ , $|AB| = 5$ , $|BC| = 12$ . Oblicz promień okręgu.

Odpowiedź
$AC$ jest średnicą: $|AC| = 13$ , $R = \frac{13}{2}$ .
Kąty czworokąta $ABCD$ mają kolejno miary $80^\circ$ , $100^\circ$ , $110^\circ$ , $70^\circ$ . Czy da się na nim opisać okrąg?

Odpowiedź
Nie: $\angle A + \angle C = 80^\circ + 110^\circ = 190^\circ \ne 180^\circ$ .

2 Czworokąt opisany na okręgu

Warunek i pole

W czworokąt wypukły $ABCD$ można wpisać okrąg $\iff |AB| + |CD| = |BC| + |AD|$ .
Pole czworokąta opisanego: $P = p \cdot r$ , gdzie $p$ to połowa obwodu (tak samo jak w trójkącie).
W trapezie opisanym wysokość jest średnicą okręgu: $h = 2r$ , a suma podstaw jest równa sumie ramion.

Przykład 2.1 Trapez opisany

Trapez równoramienny o podstawach $8$ i $2$ jest opisany na okręgu. Oblicz ramię, promień okręgu i pole trapezu.

$8 + 2 = 2c$ , więc ramię $c = 5$ .
Rzut ramienia: $\frac{8 - 2}{2} = 3$ , wysokość $h = \sqrt{25 - 9} = 4$ , czyli $r = 2$ .
$P = \frac{8 + 2}{2}\cdot4 = 20$ . Kontrola: $p\cdot r = 10\cdot2 = 20$ ✓.

Wynik: ramię $5$ , $\ r = 2$ , $\ P = 20$ .

Zadania · część 2

3 zadania · ok. 8 min

W czworokąt $ABCD$ wpisano okrąg, $|AB| = 7$ , $|BC| = 5$ , $|CD| = 4$ . Oblicz $|DA|$ .

Odpowiedź
$7 + 4 = 5 + |DA|$ , $\ |DA| = 6$ .
Trapez prostokątny jest opisany na okręgu o promieniu $3$ , a jego dłuższe ramię ma długość $10$ . Oblicz długości podstaw i pole.
Odpowiedź
1. Krótsze ramię to wysokość: $h = 6$ ; suma podstaw $6 + 10 = 16$ .
2. Różnica podstaw: $\sqrt{100 - 36} = 8$ , więc podstawy $12$ i $4$ .
3. $P = \frac{16}{2}\cdot6 = 48$ .
Romb o boku $5$ jest opisany na okręgu o promieniu $2$ . Oblicz pole rombu.

Odpowiedź
Wysokość rombu to średnica: $4$ ; $\ P = 5\cdot4 = 20$ (albo $p\cdot r = 10\cdot2$ ).

3 Oba warunki naraz

Czworokąt wpisany i opisany

Z kąta danego przy $A$ : kąt przy $C$ to $180^\circ - \alpha$ .
Przekątna $BD$ z trójkąta $ABD$ (dane dwa boki i kąt) i z trójkąta $BCD$ (dwa nieznane boki $x$ , $y$ i kąt $180^\circ - \alpha$ ).
Warunek opisania: $|AB| + y = |AD| + x$ wiąże niewiadome. Razem układ dwóch równań, zwykle kwadratowy.
Pole sumą pól trójkątów $ABD$ i $BCD$ .

Według zasad oceniania CKE z maja 2026 każdy z trzech warunków (twierdzenie o czworokącie opisanym, twierdzenie cosinusów dla przekątnej, kąt przy $C$ ) był wart osobny punkt. Pełne zadanie tego typu jest w sekcji maturalnej.

4 Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa

Równoległość z proporcji (w broszurze CKE)

Ramiona kąta o wierzchołku $O$ przecinają proste $AB$ i $CD$ ( $A$ , $C$ na jednym ramieniu, $B$ , $D$ na drugim). Jeżeli $\frac{|OA|}{|OC|} = \frac{|OB|}{|OD|}$ , to $AB \parallel CD$ .

Twierdzenie służy do wykazania równoległości, gdy znamy tylko długości. Potem można już korzystać z podobieństwa trójkątów $OAB$ i $OCD$ (lekcja 8.4 Twierdzenie Talesa i podobieństwo), a więc i z równości kątów. Uwaga: porównuje się odcinki liczone od wierzchołka $O$ ; równość $\frac{|OA|}{|AC|} = \frac{|OB|}{|BD|}$ daje to samo.

Przykład 4.1 Czy odcinek jest równoległy do boku

Na bokach $AC$ i $BC$ trójkąta $ABC$ leżą punkty $D$ i $E$ , przy czym $|CD| = 4$ , $|DA| = 6$ , $|CE| = 6$ , $|EB| = 9$ . Wykaż, że $DE \parallel AB$ , i oblicz $\frac{|DE|}{|AB|}$ .

$\frac{|CD|}{|CA|} = \frac{4}{10} = \frac25$ , $\ \frac{|CE|}{|CB|} = \frac{6}{15} = \frac25$ .
Ilorazy są równe, więc z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa $DE \parallel AB$ .
Trójkąty $CDE$ i $CAB$ są podobne w skali $\frac25$ .

Wynik: $DE \parallel AB$ , $\ \frac{|DE|}{|AB|} = \frac25$ .

Zadania · część 4

1 zadanie · ok. 3 min

Na bokach $AC$ i $BC$ trójkąta $ABC$ leżą punkty $D$ i $E$ : $|CD| = 3$ , $|DA| = 5$ , $|CE| = 4$ , $|EB| = 6$ . Czy $DE \parallel AB$ ?

Odpowiedź
$\frac{|CD|}{|CA|} = \frac38$ , $\ \frac{|CE|}{|CB|} = \frac{4}{10} = \frac25$ . Ilorazy są różne. Gdyby $DE \parallel AB$ , z twierdzenia Talesa ilorazy byłyby równe, więc odcinki nie są równoległe.

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 15 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · kąty

Zestawy A

Czworokąt $ABCD$ (kąty podane kolejno). Odpowiedz.
1. wpisany, $\angle A = 70^\circ$ ; $\ \angle C$
2. kąty $70^\circ$ , $90^\circ$ , $100^\circ$ , $100^\circ$ : czy da się opisać okrąg?
Odpowiedzi
a) $110^\circ$ b) nie

Poziom B · boki i promień okręgu wpisanego

Zestawy B

Oblicz.
1. opisany, $|AB| = 5$ , $|BC| = 6$ , $|CD| = 8$ ; $\ |DA|$
Odpowiedzi
a) $7$

Poziom C · kąt prosty i średnica

Zestawy C

Oblicz.
1. wpisany, $\angle ABC = 90^\circ$ , $|AC| = 10$ , $|AB| = 6$ ; $\ |BC|$
Odpowiedzi
a) $8$

Pełny trening (15 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

W arkuszach rozszerzonych 2024–2026 to zadania otwarte za 4–6 punktów i dowody za 3–5 punktów. Schemat oceniania przyznaje punkty za kolejne zależności: warunek wpisania lub opisania, twierdzenie cosinusów dla przekątnej, równanie z jedną niewiadomą, wynik. Uwaga z czerwca 2026: gdy z danych wynikają dwa czworokąty (różniące się kolejnością boków), rozpatrzenie jednego bez komentarza o drugim ogranicza wynik. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

4 zadania · 17 pkt · ok. 50 min

(0–6 pkt) Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg i opisany na okręgu. $|AB| = 6$ , $|AD| = 4$ , $\angle BAD = 60^\circ$ . Oblicz długości boków $BC$ i $CD$ oraz pole czworokąta.
Rozwiązanie i punktacja
1. Kąt przy $C$ . $\angle BCD = 120^\circ$ (czworokąt wpisany).
2. Przekątna z $ABD$ . $|BD|^2 = 36 + 16 - 2\cdot6\cdot4\cdot\frac12 = 28$ .
3. Warunek opisania. $|AB| + |CD| = |AD| + |BC|$ : z $x = |BC|$ , $y = |CD|$ mamy $x = y + 2$ .
4. Przekątna z $BCD$ . $28 = x^2 + y^2 - 2xy\cos120^\circ = x^2 + y^2 + xy$ .
5. Równanie. $(y + 2)^2 + y^2 + y(y + 2) = 28$ , czyli $3y^2 + 6y - 24 = 0$ , $\ y^2 + 2y - 8 = 0$ : $y = 2$ (bo $y > 0$ ), $x = 4$ .
6. Pole. $\frac12\cdot6\cdot4\cdot\frac{\sqrt3}{2} + \frac12\cdot4\cdot2\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 6\sqrt3 + 2\sqrt3 = 8\sqrt3$ .
1 pkt za każdy z trzech warunków: $\angle C = 120^\circ$ , $|BD|^2 = 28$ , $|AB| + |CD| = |AD| + |BC|$ . 4 pkt za równanie z jedną niewiadomą. 5 pkt za $|BC| = 4$ , $|CD| = 2$ . 6 pkt za pole $8\sqrt3$ .
(0–4 pkt) Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg, $AB \perp BC$ , $|AB| = 5$ , $|BC| = 12$ , a pole czworokąta jest równe $60$ . Oblicz obwód czworokąta.
Rozwiązanie i punktacja
1. Średnica. $\angle ABC = 90^\circ$ , więc $AC$ jest średnicą: $|AC| = 13$ , a $\angle ADC = 90^\circ$ .
2. Trójkąt $ACD$ . $P_{ACD} = 60 - 30 = 30$ : z $c = |CD|$ , $d = |AD|$ : $\ cd = 60$ , $\ c^2 + d^2 = 169$ .
3. Suma. $(c + d)^2 = 169 + 120 = 289$ , $\ c + d = 17$ (boki to $5$ i $12$ w jednej z dwóch kolejności).
4. Obwód. $5 + 12 + 17 = 34$ w obu przypadkach.
1 pkt za $|AC| = 13$ i kąt prosty przy $D$ . 2 pkt za układ $cd = 60$ , $c^2 + d^2 = 169$ . 3 pkt za $c + d = 17$ . 4 pkt za obwód $34$ z uwagą o obu położeniach.
(0–4 pkt) Trapez równoramienny o podstawach $18$ i $8$ jest opisany na okręgu. Oblicz promień tego okręgu i pole trapezu.
Rozwiązanie i punktacja
1. Ramię. $18 + 8 = 2c$ , $\ c = 13$ .
2. Wysokość. rzut ramienia $\frac{18 - 8}{2} = 5$ , $\ h = \sqrt{169 - 25} = 12$ .
3. Promień. $r = \frac h2 = 6$ .
4. Pole. $\frac{26}{2}\cdot12 = 156$ .
1 pkt za ramię $13$ . 2 pkt za $h = 12$ . 3 pkt za $r = 6$ . 4 pkt za pole $156$ .
(0–3 pkt) Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg. Proste $AB$ i $DC$ przecinają się w punkcie $P$ , przy czym $B$ leży między $A$ i $P$ , a $C$ między $D$ i $P$ . Wykaż, że trójkąty $PBC$ i $PDA$ są podobne.
Rozwiązanie i punktacja
1. Kąt przy $B$ . $\angle PBC = 180^\circ - \angle ABC$ (kąty przyległe).
2. Czworokąt wpisany. $\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$ , więc $\angle PBC = \angle ADC = \angle PDA$ .
3. Wspólny kąt. kąt przy $P$ jest wspólny dla obu trójkątów.
4. Teza. cecha kąt–kąt–kąt: $\triangle PBC \sim \triangle PDA$ .
1 pkt za $\angle PBC = 180^\circ - \angle ABC$ . 2 pkt za $\angle PBC = \angle PDA$ z uzasadnieniem. 3 pkt za pełny dowód.

7 Najczęstsze błędy

„ $\cos(180^\circ - \alpha) = \cos\alpha$ .”: $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$ . Ten znak zmienia wszystko w równaniu na przekątną; w 2026 roku był głównym źródłem błędów.
„W czworokącie wpisanym sąsiednie kąty sumują się do $180^\circ$ .”: Przeciwległe. Sąsiednie sumują się do $180^\circ$ w równoległoboku i przy ramionach trapezu.
„Czworokąt opisany: $a + b = c + d$ .”: Sumy boków przeciwległych: $|AB| + |CD| = |BC| + |DA|$ .
„Każdy trapez można wpisać w okrąg.”: Tylko równoramienny: w trapezie kąty przy ramieniu sumują się do $180^\circ$ , więc warunek kątów przeciwległych wymusza równe kąty przy podstawie.

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Czy na każdym prostokącie da się opisać okrąg?

Tak: przeciwległe kąty proste sumują się do $180^\circ$ .

2 Czy w każdy romb da się wpisać okrąg?

Tak: wszystkie boki są równe, więc sumy przeciwległych boków też.

3 W trapez opisany na okręgu o promieniu

5

: jaka jest wysokość?

$10$ .

4 Czworokąt wpisany ma kąt prosty przy

B

. Co wiadomo o przekątnej

AC

Jest średnicą okręgu.

9 Karta wzorów i co dalej

Wpisany

$\alpha + \gamma = \beta + \delta = 180^\circ$

$a^2 + d^2 - 2ad\cos\alpha = b^2 + c^2 + 2bc\cos\alpha$

kąt prosty $\Rightarrow$ przekątna jest średnicą

Opisany

$a + c = b + d$ (przeciwległe)

$P = p\cdot r$ ; trapez: $h = 2r$

W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” są oba warunki (okrąg opisany na czworokącie, okrąg wpisany w czworokąt), twierdzenie cosinusów i twierdzenie sinusów. Wzoru $P = p\cdot r$ dla czworokąta ani związku $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$ w tej postaci w części o czworokątach nie ma; drugi wynika ze wzorów redukcyjnych.

Dalej: geometria analityczna, prosta na płaszczyźnie (lekcja 9.1 Prosta na płaszczyźnie).