8.4 Twierdzenie Talesa i podobieństwo · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Ten sam kształt, inna skala

Dwa trójkąty są podobne, gdy mają takie same kąty; wtedy wszystkie boki jednego są $k$ razy dłuższe od odpowiednich boków drugiego. Twierdzenie Talesa to szczególny przypadek: proste równoległe przecinające ramiona kąta wycinają trójkąty podobne o wspólnym wierzchołku. Każde zadanie z tej lekcji ma ten sam przebieg: znaleźć dwa trójkąty o równych kątach, ustawić wierzchołki w odpowiadającej sobie kolejności i dopiero wtedy zapisać proporcję.

1 Twierdzenie Talesa

Twierdzenie Talesa (w broszurze CKE)

Ramiona kąta o wierzchołku $O$ przecięto prostymi $AB$ i $CD$ ( $A$ , $C$ na jednym ramieniu, $B$ , $D$ na drugim). Jeżeli $AB \parallel CD$ , to

\frac{|OA|}{|OC|} = \frac{|OB|}{|OD|} = \frac{|AB|}{|CD|}, \qquad \frac{|OA|}{|AC|} = \frac{|OB|}{|BD|}.

Twierdzenie odwrotne: jeśli $\frac{|OA|}{|OC|} = \frac{|OB|}{|OD|}$ , to proste są równoległe. Te same proporcje zachodzą w konfiguracji „motylek”, gdy odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w $O$ , a $AB \parallel CD$ .

Uwaga: proporcja $\frac{|AB|}{|CD|}$ dotyczy odcinków liczonych od wierzchołka $O$ ( $|OA|$ , $|OC|$ ), a nie odcinka $|AC|$ między prostymi.

Przykład 1.1 Kąt

Na rysunku $AB \parallel CD$ , $|OA| = 4$ , $|AC| = 6$ , $|OB| = 5$ . Oblicz $|BD|$ . Ile wynosi $|CD|$ , jeśli $|AB| = 3$ ?

$\frac{|OA|}{|AC|} = \frac{|OB|}{|BD|}$ : $\ \frac46 = \frac{5}{|BD|}$ , więc $|BD| = \frac{30}{4} = \frac{15}{2}$ .
$|OC| = 10$ : $\ \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{|OA|}{|OC|} = \frac{4}{10}$ , więc $|CD| = \frac{3\cdot10}{4} = \frac{15}{2}$ .

Wynik: $|BD| = \frac{15}{2}$ , $\ |CD| = \frac{15}{2}$ .

Przykład 1.2 Motylek

Odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w $O$ , $AB \parallel CD$ , $|OA| = 10$ , $|OC| = 4$ , $|OB| = 7{,}5$ . Oblicz $|OD|$ oraz $|CD|$ , jeśli $|AB| = 15$ .

Trójkąty $OAB$ i $OCD$ są podobne (kąty wierzchołkowe przy $O$ , kąty naprzemianległe przy prostych równoległych), skala $\frac{|OC|}{|OA|} = \frac{4}{10}$ .
$|OD| = 7{,}5\cdot\frac{4}{10} = 3$ , $\ |CD| = 15\cdot\frac{4}{10} = 6$ .

Wynik: $|OD| = 3$ , $\ |CD| = 6$ .

Zadania · część 1

3 zadania · ok. 6 min

W konfiguracji „kąt”: $|OA| = 3$ , $|AC| = 5$ , $|OB| = 6$ , $AB \parallel CD$ . Oblicz $|BD|$ .

Odpowiedź
$\frac35 = \frac{6}{|BD|}$ , $\ |BD| = 10$ .
W konfiguracji „motylek”: $|OA| = 9$ , $|OB| = 6$ , $|OC| = 6$ . Oblicz $|OD|$ .

Odpowiedź
$\frac{|OA|}{|OC|} = \frac{|OB|}{|OD|}$ : $\ \frac96 = \frac{6}{|OD|}$ , $\ |OD| = 4$ .
W trójkącie $ABC$ bok $AB$ ma długość $12$ . Punkt $D$ leży na boku $AC$ i $|CD| : |DA| = 1 : 2$ . Prosta przez $D$ równoległa do $AB$ przecina $BC$ w $E$ . Oblicz $|DE|$ .

Odpowiedź
Wierzchołek kąta to $C$ : $\frac{|DE|}{|AB|} = \frac{|CD|}{|CA|} = \frac13$ , $\ |DE| = 4$ .

2 Cechy podobieństwa i dopasowanie wierzchołków

Cechy podobieństwa (w broszurze CKE)

kąt–kąt–kąt: dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom drugiego (trzeci wynika z sumy);
bok–kąt–bok: dwa boki proporcjonalne i równy kąt między nimi;
bok–bok–bok: trzy boki proporcjonalne.

Zapis $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ oznacza, że $A \leftrightarrow K$ , $B \leftrightarrow L$ , $C \leftrightarrow M$ . Proporcje odczytuje się z kolejności liter: $\frac{|AB|}{|KL|} = \frac{|BC|}{|LM|} = \frac{|AC|}{|KM|}$ . Najpierw ustalamy, które kąty są równe, i według nich ustawiamy kolejność wierzchołków.

Przykład 2.1 Wspólny kąt

W trójkącie $ABC$ : $|AB| = 9$ , $|AC| = 6$ . Punkt $D$ leży na boku $AB$ , przy czym $\angle ACD = \angle ABC$ . Oblicz $|AD|$ .

Trójkąty $ACD$ i $ABC$ mają wspólny kąt przy $A$ i $\angle ACD = \angle ABC$ : podobne (kkk).
Dopasowanie: $A \leftrightarrow A$ , $C \leftrightarrow B$ , $D \leftrightarrow C$ , czyli $\triangle ACD \sim \triangle ABC$ .
$\frac{|AC|}{|AB|} = \frac{|AD|}{|AC|}$ , więc $|AD| = \frac{|AC|^2}{|AB|} = \frac{36}{9}$ .

Wynik: $|AD| = 4$ .

3 Skala, obwody i pola

Figury podobne w skali $k$

\frac{\text{obwód}_2}{\text{obwód}_1} = k, \qquad \frac{P_2}{P_1} = k^2.

Działa to dla wszystkich figur podobnych, nie tylko trójkątów. Odwrotnie: znając stosunek pól, skalę dostaje się pierwiastkiem.

Przykład 3.1 Boki z obwodu

Trójkąt o bokach $4$ , $6$ , $8$ jest podobny do trójkąta o obwodzie $45$ . Oblicz boki drugiego trójkąta i stosunek pól.

Obwód pierwszego $18$ : $\ k = \frac{45}{18} = \frac52$ .
Boki: $10$ , $15$ , $20$ ; stosunek pól $k^2 = \frac{25}{4}$ .

Wynik: $10$ , $15$ , $20$ ; pole drugiego jest $\frac{25}{4}$ razy większe.

Zadania · część 3

2 zadania · ok. 4 min

Pola dwóch trójkątów podobnych są w stosunku $9 : 4$ . Obwód mniejszego wynosi $20$ . Oblicz obwód większego.

Odpowiedź
$k = \frac32$ , obwód $30$ .
Trójkąt o bokach $5$ , $12$ , $13$ jest podobny do trójkąta $KLM$ , którego najkrótszy bok ma $15$ . Oblicz przeciwprostokątną i pole trójkąta $KLM$ .

Odpowiedź
$k = 3$ : przeciwprostokątna $39$ ; pole pierwszego $\frac12\cdot5\cdot12 = 30$ , więc pole $KLM$ to $30\cdot9 = 270$ .

4 Wysokość w trójkącie prostokątnym

Trzy trójkąty podobne (w broszurze CKE)

Wysokość $CD$ poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli trójkąt $ABC$ na dwa trójkąty podobne do niego i do siebie. Stąd:

h_c = \sqrt{|AD|\cdot|DB|}, \qquad h_c = \frac{ab}{c}, \qquad |AC|^2 = |AD|\cdot|AB|, \qquad |BC|^2 = |BD|\cdot|AB|.

Przykład 4.1 Z odcinków przeciwprostokątnej

Wysokość $CD$ trójkąta prostokątnego dzieli przeciwprostokątną na odcinki $|AD| = 4$ i $|DB| = 9$ . Oblicz $|CD|$ , $|AC|$ i $|BC|$ .

$|CD| = \sqrt{4\cdot9} = 6$ .
$|AC| = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ , $\ |BC| = \sqrt{81 + 36} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}$ .

Wynik: $6$ , $2\sqrt{13}$ , $3\sqrt{13}$ .

Zadania · część 4

1 zadanie · ok. 3 min

Przyprostokątne mają długości $6$ i $8$ . Oblicz wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną i odcinki, na które dzieli ona przeciwprostokątną.

Odpowiedź
$c = 10$ , $\ h = \frac{48}{10} = \frac{24}{5}$ ; odcinki $\frac{36}{10} = \frac{18}{5}$ (przy boku $6$ ) i $\frac{64}{10} = \frac{32}{5}$ .

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 17 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · twierdzenie Talesa

Zestawy A

Oblicz ( $AB \parallel CD$ ; „kąt”: $A$ , $C$ na jednym ramieniu kąta o wierzchołku $O$ ; „motylek”: $AC$ i $BD$ przecinają się w $O$ ).
1. kąt: $|OA| = 2$ , $|AC| = 3$ , $|OB| = 4$ ; $\ |BD|$
2. trójkąt $ABC$ , $DE \parallel BC$ , $D \in AB$ : $|AD| = 3$ , $|DB| = 6$ , $|BC| = 12$ ; $\ |DE|$
Odpowiedzi
a) $6$ b) $4$

Poziom B · skala

Zestawy B

Oblicz.
1. trójkąt $3$ , $4$ , $5$ w skali $4$ : najdłuższy bok
2. $\triangle ACD \sim \triangle ABC$ (wspólny kąt $A$ , $\angle ACD = \angle ABC$ ), $|AB| = 16$ , $|AD| = 9$ ; $\ |AC|$
Odpowiedzi
a) $20$ b) $12$

Poziom C · trójkąt prostokątny

Zestawy C

$CD$ to wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego $C$ na przeciwprostokątną $AB$ . Oblicz.
1. $|AD| = 2$ , $|DB| = 8$ ; $\ |CD|$
Odpowiedzi
a) $4$

Pełny trening (17 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

W arkuszach podstawowych 2024–2026 to zwykle zadanie zamknięte (Tales w konfiguracji „kąt” albo „motylek”, boki trójkąta podobnego z obwodu) albo prawda/fałsz. Czasem zadanie otwarte za 3–4 punkty z trapezem lub trójkątem prostokątnym, w którym punkty przyznaje się za kolejne odcinki, i dowód za 2–3 punkty. Stała uwaga w kluczach: jeśli jedynym błędem jest zła proporcja, a rozwiązanie doprowadzono do końca, zdający dostaje co najwyżej 2 punkty. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

5 zadań · 9 pkt · ok. 25 min

(0–1 pkt) Odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$ , $AB \parallel CD$ , $|OA| = 10$ , $|OB| = 4$ , $|OC| = 15$ . Długość odcinka $OD$ jest równa

A. $4$ B. $6$ C. $7{,}5$ D. $10$

Odpowiedź
B. $|OD| = \frac{4\cdot15}{10}$ .
(0–1 pkt) Trójkąt o bokach $6$ , $8$ , $10$ jest podobny do trójkąta o obwodzie $60$ . Najdłuższy bok drugiego trójkąta ma długość

A. $15$ B. $20$ C. $25$ D. $30$

Odpowiedź
C. $k = \frac{60}{24} = \frac52$ , $\ 10\cdot\frac52$ .
(0–1 pkt) Trójkąt $T$ ma pole $12$ . Trójkąt $T'$ jest do niego podobny w skali $3$ . Oceń prawdziwość zdań.

1. Pole trójkąta $T'$ jest równe $108$ . P F
2. Obwód trójkąta $T'$ jest $9$ razy większy od obwodu $T$ . P F

Odpowiedź
PF. Pola $k^2 = 9$ razy, obwody $k = 3$ razy.
(0–4 pkt) Trapez prostokątny $ABCD$ ma podstawy $AB$ i $CD$ oraz kąty proste przy wierzchołkach $A$ i $D$ . Przekątna $AC$ ma długość $8$ i jest prostopadła do ramienia $BC$ , a $|AB| = 10$ . Oblicz pole trapezu.
Rozwiązanie i punktacja
1. Ramię. trójkąt $ACB$ prostokątny: $|BC| = \sqrt{100 - 64} = 6$ .
2. Podobieństwo. $\angle DCA = \angle CAB$ (naprzemianległe), kąty proste przy $D$ i $C$ : $\triangle ADC \sim \triangle BCA$ , czyli $A \leftrightarrow B$ , $D \leftrightarrow C$ , $C \leftrightarrow A$ .
3. Odcinki. $\frac{|DC|}{|CA|} = \frac{|CA|}{|AB|}$ : $\ |DC| = \frac{64}{10} = 6{,}4$ ; $\ \frac{|AD|}{|BC|} = \frac{|AC|}{|AB|}$ : $\ |AD| = \frac{6\cdot8}{10} = 4{,}8$ .
4. Pole. $\frac{10 + 6{,}4}{2}\cdot4{,}8 = 39{,}36$ .
1 pkt za $|BC| = 6$ albo za poprawną proporcję z podobieństwa. 2 pkt za $|DC|$ albo $|AD|$ . 3 pkt za oba odcinki. 4 pkt za pole $39{,}36$ .
(0–2 pkt) W trójkącie $ABC$ punkt $D$ leży na boku $AB$ , punkt $E$ na boku $AC$ i $DE \parallel BC$ . Wykaż, że $|AD|\cdot|EC| = |AE|\cdot|DB|$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Tales. ramiona kąta $BAC$ przecięte prostymi równoległymi $DE$ i $BC$ : $\ \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|}$ .
2. Wniosek. mnożąc obie strony przez $|DB|\cdot|EC|$ (oba dodatnie), dostajemy $|AD|\cdot|EC| = |AE|\cdot|DB|$ .
1 pkt za poprawną proporcję z twierdzenia Talesa z uzasadnieniem. 2 pkt za wniosek. Sprawdzenie na konkretnych długościach: 0 pkt.

7 Najczęstsze błędy

„ $\frac{|OA|}{|AC|} = \frac{|AB|}{|CD|}$ .”: Odcinki na prostych równoległych porównuje się z odcinkami od wierzchołka: $\frac{|AB|}{|CD|} = \frac{|OA|}{|OC|}$ , nie $\frac{|OA|}{|AC|}$ .
„Trójkąty są podobne, więc dzielę boki w kolejności, w jakiej są podpisane.”: Kolejność wynika z równych kątów, nie z liter na rysunku. W przykładzie 2.1 bok $AC$ trójkąta $ACD$ odpowiada bokowi $AB$ trójkąta $ABC$ .
„Skala $2$ , więc pole też $2$ razy większe.”: Pole rośnie $k^2 = 4$ razy. Obwód rośnie $k$ razy.
„Trapez z rysunku dzieli się przekątną na trójkąty przystające.”: Zwykle tylko podobne, i to tylko w szczególnych przypadkach (jak w zadaniu 4 z sekcji maturalnej). Każdą równość kątów trzeba uzasadnić.

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Pola dwóch kwadratów są w stosunku

16 : 25

. W jakim stosunku są ich boki?

$4 : 5$ .

2 Ile cech podobieństwa trójkątów jest w broszurze CKE?

Trzy: kkk, bkb, bbb.

3 Wysokość z kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na

2

8

. Ile ma wysokość?

$\sqrt{16} = 4$ .

4 Czy dwa trójkąty prostokątne z równym kątem ostrym są podobne?

Tak: mają dwa równe kąty (prosty i ten ostry), cecha kkk.

9 Karta wzorów i co dalej

Tales

$\frac{|OA|}{|OC|} = \frac{|OB|}{|OD|} = \frac{|AB|}{|CD|}$

$\frac{|OA|}{|AC|} = \frac{|OB|}{|BD|}$

„kąt” i „motylek”: te same proporcje

Podobieństwo

kkk, bkb, bbb; kolejność z kątów

obwody $k$ , pola $k^2$

$h_c^2 = |AD|\cdot|DB|$ , $\ h_c = \frac{ab}{c}$

W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” są twierdzenie Talesa z odwrotnym, cechy przystawania i podobieństwa trójkątów oraz związki miarowe w trójkącie prostokątnym ( $h_c = \sqrt{|AD|\cdot|DB|}$ , $h_c = \frac{ab}{c}$ ). Jest też twierdzenie o polach figur podobnych (stosunek pól równy $k^2$ ). Uwaga na oznaczenia: w broszurze wierzchołek kąta nazywa się $P$ , a punkty $A$ , $B$ leżą na jednej prostej, czyli inaczej niż w tej lekcji. Warto przed egzaminem przeczytać tamten zapis i przełożyć go na własne litery.

Dalej: trygonometria w figurach i dowody geometryczne (lekcja 8.5 Trygonometria w figurach i dowody geometryczne).