8.3 Czworokąty i wielokąty foremne · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Wysokość i przekątne

Prawie każde zadanie z czworokątem sprowadza się do jednego z dwóch ruchów. Pierwszy: opuścić wysokość i dostać trójkąt prostokątny, z którego twierdzenie Pitagorasa albo funkcja trygonometryczna da brakującą długość. Drugi: poprowadzić przekątne i zauważyć trójkąty przystające lub podobne. Wielokąty foremne rozkłada się na trójkąty równoramienne o wierzchołku w środku okręgu opisanego; w sześciokącie są to trójkąty równoboczne.

1 Czworokąty i ich pola

Pola (w broszurze CKE)

trapez: $P = \frac{a + b}{2}\cdot h$ ;
równoległobok: $P = a h_a = ab\sin\alpha = \frac12 d_1 d_2 \sin\varphi$ ( $\varphi$ to kąt między przekątnymi);
romb: $P = a h = a^2\sin\alpha = \frac12 d_1 d_2$ ;
deltoid: $P = \frac12 d_1 d_2$ .

Przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się na połowy; przekątne równoległoboku tylko dzielą się na połowy. W trapezie równoramiennym spodek wysokości odcina od dłuższej podstawy odcinek $\frac{a - b}{2}$ .

Przykład 1.1 Trapez równoramienny

Trapez równoramienny ma podstawy $12$ i $6$ oraz ramię $5$ . Oblicz jego pole i długość przekątnej.

Spodek wysokości z $D$ odcina od $AB$ odcinek $\frac{12 - 6}{2} = 3$ , więc $h = \sqrt{25 - 9} = 4$ .
$P = \frac{12 + 6}{2}\cdot 4 = 36$ .
Przekątna $BD$ : rzut na $AB$ ma długość $12 - 3 = 9$ , więc $|BD| = \sqrt{81 + 16}$ .

Wynik: $P = 36$ , $\ |BD| = \sqrt{97}$ .

Zadania · część 1

3 zadania · ok. 6 min

Przekątne rombu mają długości $6$ i $8$ . Oblicz bok, pole i wysokość rombu.

Odpowiedź
Połówki przekątnych $3$ i $4$ tworzą z bokiem trójkąt prostokątny: bok $5$ . $\ P = \frac12\cdot6\cdot8 = 24$ , $\ h = \frac{24}{5}$ .
Równoległobok ma boki $8$ i $5$ oraz kąt ostry $30^\circ$ . Oblicz jego pole.

Odpowiedź
$8\cdot5\cdot\frac12 = 20$ .
Trapez prostokątny ma podstawy $10$ i $6$ , a ramię nieprostopadłe do podstaw ma długość $5$ . Oblicz pole.

Odpowiedź
Różnica podstaw $4$ , więc $h = \sqrt{25 - 16} = 3$ ; $\ P = \frac{16}{2}\cdot3 = 24$ .

2 Przekątne trapezu i równoległoboku

Cztery trójkąty

W trapezie $ABCD$ ( $AB \parallel CD$ ) przekątne przecinają się w punkcie $E$ . Niech $k = \frac{|AB|}{|CD|}$ .

Trójkąty $ABE$ i $CDE$ są podobne w skali $k$ : $\ \frac{|AE|}{|EC|} = \frac{|BE|}{|ED|} = k$ , $\ \frac{P_{ABE}}{P_{CDE}} = k^2$ .
Trójkąty boczne mają równe pola: $P_{BCE} = P_{ADE} = k\cdot P_{CDE}$ .
W równoległoboku przekątne dzielą go na cztery trójkąty o równych polach.

Przykład 2.1 Pola z jednego trójkąta

W trapezie $ABCD$ podstawa $AB$ jest trzy razy dłuższa od $CD$ . Przekątne przecinają się w $E$ , a $P_{CDE} = 2$ . Oblicz pole trapezu.

$k = 3$ : $\ P_{ABE} = 9 \cdot 2 = 18$ .
Trójkąty $CDE$ i $BCE$ mają wspólną wysokość z $C$ , a $\frac{|BE|}{|ED|} = 3$ : $\ P_{BCE} = 3\cdot 2 = 6$ ; tak samo $P_{ADE} = 6$ .
$P = 18 + 6 + 2 + 6$ .

Wynik: $P = 32$ .

Zadania · część 2

1 zadanie · ok. 3 min

Trapez ma podstawy $|AB| = 10$ i $|CD| = 4$ . Przekątne przecinają się w $E$ . Oblicz $\frac{|AE|}{|EC|}$ i $\frac{P_{ABE}}{P_{CDE}}$ .

Odpowiedź
$k = \frac{10}{4} = \frac52$ : $\ \frac{|AE|}{|EC|} = \frac52$ , $\ \frac{P_{ABE}}{P_{CDE}} = \frac{25}{4}$ .

3 Wielokąty foremne

$n$ -kąt foremny

suma kątów wewnętrznych $(n - 2)\cdot180^\circ$ , każdy kąt $\frac{(n - 2)\cdot180^\circ}{n}$ ;
kąt środkowy oparty na boku $\frac{360^\circ}{n}$ ;
liczba przekątnych $\frac{n(n - 3)}{2}$ ;
sześciokąt foremny o boku $a$ to sześć trójkątów równobocznych: $R = a$ , $\ P = 6\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4} = \frac{3a^2\sqrt3}{2}$ , krótsza przekątna $a\sqrt3$ , dłuższa $2a$ .

Przykład 3.1 Koło bez sześciokąta

Sześciokąt foremny jest wpisany w okrąg o promieniu $2$ . Oblicz pole części koła leżącej poza sześciokątem.

Bok sześciokąta to promień: $a = 2$ . Pole sześciokąta: $\frac{3\cdot4\sqrt3}{2} = 6\sqrt3$ .
Pole koła: $4\pi$ .

Wynik: $4\pi - 6\sqrt3$ .

Zadania · część 3

4 zadania · ok. 6 min

Ile stopni ma kąt wewnętrzny dziesięciokąta foremnego?

Odpowiedź
$\frac{8\cdot180^\circ}{10} = 144^\circ$ .
Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ma $140^\circ$ . Ile boków ma ten wielokąt?

Odpowiedź
Kąt zewnętrzny $40^\circ$ , a suma kątów zewnętrznych to $360^\circ$ : $n = 9$ .
Ile przekątnych ma ośmiokąt?

Odpowiedź
$\frac{8\cdot5}{2} = 20$ .
Sześciokąt foremny ma bok $4$ . Oblicz jego pole oraz długości obu rodzajów przekątnych.

Odpowiedź
$P = \frac{3\cdot16\sqrt3}{2} = 24\sqrt3$ ; krótsza przekątna $4\sqrt3$ , dłuższa $8$ .

4 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 20 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · pola

Zestawy A

Oblicz.
1. pole równoległoboku: $a = 6$ , $h_a = 4$
2. pole deltoidu o przekątnych $7$ i $12$
Odpowiedzi
a) $24$ b) $42$

Poziom B · przekątne

Zestawy B

Trapez $ABCD$ , $AB \parallel CD$ , przekątne przecinają się w $E$ . Oblicz.
1. $|AB| = 2|CD|$ , $P_{CDE} = 3$ ; $\ P_{ABE}$ , $P_{BCE}$ , $P_{ABCD}$
2. $P_{ABE} = 27$ , $P_{CDE} = 3$ ; $\ \frac{|AB|}{|CD|}$
Odpowiedzi
a) $12$ , $6$ , $27$ b) $3$

Poziom C · wielokąty foremne

Zestawy C

Oblicz.
1. kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego
2. sześciokąt foremny $a = 2$ : pole i krótsza przekątna
Odpowiedzi
a) $120^\circ$ b) $6\sqrt3$ i $2\sqrt3$

Pełny trening (20 przykładów i zadań) →

5 Na maturze

W arkuszach 2024–2026 ta lekcja daje zadania za 1 punkt: prawda/fałsz o polach trójkątów wyznaczonych przez przekątne trapezu, pole figury z sześciokątem foremnym, czasem kąt wielokąta foremnego. Na poziomie rozszerzonym równoległobok pojawił się w zadaniu z geometrii analitycznej za 6 punktów. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

5 zadań · 8 pkt · ok. 20 min

(0–1 pkt) W trapezie $ABCD$ podstawa $AB$ jest trzy razy dłuższa od podstawy $CD$ . Przekątne przecinają się w punkcie $E$ . Oceń prawdziwość zdań.

1. Pole trójkąta $ABE$ jest $9$ razy większe od pola trójkąta $CDE$ . P F
2. Pole trójkąta $BCE$ jest równe polu trójkąta $ABE$ . P F

Odpowiedź
PF. Skala $3$ , pola $3^2$ . Pole $BCE$ to $3P_{CDE}$ , a $ABE$ to $9P_{CDE}$ .
(0–1 pkt) Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ma miarę $150^\circ$ . Liczba boków tego wielokąta jest równa

A. $10$ B. $12$ C. $15$ D. $18$

Odpowiedź
B. Kąt zewnętrzny $30^\circ$ , $\ \frac{360^\circ}{30^\circ} = 12$ .
(0–1 pkt) Romb ma bok długości $10$ i kąt ostry $30^\circ$ . Pole tego rombu jest równe

A. $25$ B. $50$ C. $50\sqrt3$ D. $100$

Odpowiedź
B. $a^2\sin\alpha = 100\cdot\frac12$ .
(0–3 pkt) Trapez równoramienny ma podstawy długości $14$ i $4$ oraz ramię długości $13$ . Oblicz pole trapezu i długość jego przekątnej.
Rozwiązanie i punktacja
1. Wysokość. spodek wysokości odcina $\frac{14 - 4}{2} = 5$ : $\ h = \sqrt{169 - 25} = 12$ .
2. Pole. $\frac{14 + 4}{2}\cdot12 = 108$ .
3. Przekątna. rzut na dłuższą podstawę ma $14 - 5 = 9$ : $\ \sqrt{81 + 144} = 15$ .
1 pkt za $h = 12$ . 2 pkt za pole $108$ . 3 pkt za przekątną $15$ .
(0–2 pkt) Sześciokąt foremny $ABCDEF$ ma bok długości $6$ . Oblicz pole trójkąta $ACE$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Bok trójkąta. $AC$ to krótsza przekątna: $6\sqrt3$ ; trójkąt $ACE$ jest równoboczny.
2. Pole. $\frac{(6\sqrt3)^2\sqrt3}{4} = \frac{108\sqrt3}{4} = 27\sqrt3$ .
1 pkt za $|AC| = 6\sqrt3$ . 2 pkt za $27\sqrt3$ . Kontrola: to połowa pola sześciokąta, $54\sqrt3$ .

6 Najczęstsze błędy

„Podstawy w stosunku $3 : 1$ , więc pola trójkątów przy podstawach też $3 : 1$ .”: Trójkąty $ABE$ i $CDE$ są podobne, więc pola są w stosunku kwadratu skali: $9 : 1$ . Stosunek $3 : 1$ mają pola trójkąta bocznego i górnego.
„Przekątne równoległoboku są prostopadłe.”: Tylko w rombie (i kwadracie). W równoległoboku przekątne tylko dzielą się na połowy.
„Suma kątów wielokąta to $n\cdot180^\circ$ .”: $(n - 2)\cdot180^\circ$ : wielokąt dzieli się przekątnymi z jednego wierzchołka na $n - 2$ trójkąty.
„Promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym to jego krótsza przekątna.”: Promień jest równy bokowi $a$ . Krótsza przekątna ma $a\sqrt3$ , dłuższa $2a$ (średnica).

7 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Ile wynosi suma kątów wewnętrznych pięciokąta?

$540^\circ$ .

2 Pole równoległoboku jest równe

40

. Jakie pole ma każdy z czterech trójkątów wyznaczonych przez przekątne?

$10$ .

3 Jaki jest kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego?

$120^\circ$ .

4 Romb ma przekątne

10

24

. Ile ma bok?

$13$ : $\sqrt{5^2 + 12^2}$ .

8 Karta wzorów i co dalej

Pola

trapez $\frac{a+b}{2}h$ ; równoległobok $ab\sin\alpha$

romb, deltoid $\frac12 d_1d_2$

przekątne trapezu: $k^2 : k : 1 : k$

Foremne

kąt $\frac{(n-2)180^\circ}{n}$ , przekątne $\frac{n(n-3)}{2}$

sześciokąt: $R = a$ , $P = \frac{3a^2\sqrt3}{2}$

przekątne $a\sqrt3$ i $2a$

W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” są definicje i wzory na pola trapezu, równoległoboku, rombu i deltoidu oraz warunki wpisania okręgu w czworokąt i opisania okręgu na czworokącie. Zależności między polami trójkątów wyznaczonych przez przekątne i wzorów dla wielokątów foremnych tam nie ma.

Dalej: twierdzenie Talesa i podobieństwo (lekcja 8.4 Twierdzenie Talesa i podobieństwo).