Trening: czworokąty wpisane i opisane

1. Czworokąt $ABCD$ (kąty podane kolejno). Odpowiedz.

   1. wpisany, $\angle A = 70^\circ$; $\ \angle C$
   2. wpisany, $\angle B = 95^\circ$; $\ \angle D$
   3. kąty $90^\circ$, $80^\circ$, $90^\circ$, $100^\circ$: czy da się opisać okrąg?
   4. kąty $60^\circ$, $100^\circ$, $120^\circ$, $80^\circ$: czy da się opisać okrąg?
   5. kąty $70^\circ$, $90^\circ$, $100^\circ$, $100^\circ$: czy da się opisać okrąg?
   Odpowiedzi

   a) $110^\circ$   b) $85^\circ$   c) tak   d) tak   e) nie

1. Oblicz.

   1. opisany, $|AB| = 5$, $|BC| = 6$, $|CD| = 8$; $\ |DA|$
   2. trapez równoramienny opisany, podstawy $10$ i $6$; ramię
   3. romb o obwodzie $20$ opisany na okręgu o promieniu $2$; pole
   4. trapez równoramienny opisany, ramię $5$, wysokość $4$; $\ r$ i pole
   Odpowiedzi

   a) $7$   b) $8$   c) $20$   d) $2$ i $20$

1. Oblicz.

   1. wpisany, $\angle ABC = 90^\circ$, $|AC| = 10$, $|AB| = 6$; $\ |BC|$
   2. prostokąt $6 \times 8$; promień okręgu opisanego
   3. czy trapez prostokątny, który nie jest prostokątem, można wpisać w okrąg?
   Odpowiedzi

   a) $8$   b) $5$   c) nie

1. (0–4 pkt) Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg, $|AB| = 2$, $|BC| = 6$, $|CD| = 8$, $|DA| = 6$. Oblicz miarę kąta $BAD$, długość przekątnej $BD$ i promień okręgu.

   Rozwiązanie i punktacja

   1. Przekątna z dwóch trójkątów. $|BD|^2 = 4 + 36 - 24\cos\alpha = 36 + 64 + 96\cos\alpha$.
   2. Kąt. $-60 = 120\cos\alpha$, $\ \cos\alpha = -\frac12$, $\ \alpha = 120^\circ$.
   3. Przekątna. $|BD|^2 = 40 + 12 = 52$, $\ |BD| = 2\sqrt{13}$.
   4. Promień. $2R = \frac{2\sqrt{13}}{\sin120^\circ} = \frac{4\sqrt{13}}{\sqrt3}$, $\ R = \frac{2\sqrt{39}}{3}$.

   1 pkt za zapis twierdzenia cosinusów dla $BD$ w obu trójkątach z $\cos\angle C = -\cos\alpha$. 2 pkt za $\alpha = 120^\circ$. 3 pkt za $|BD| = 2\sqrt{13}$. 4 pkt za $R$.

2. Kąt. $-39 = 78\cos\alpha$, $\ \cos\alpha = -\frac12$, $\ \alpha = 120^\circ$.
3. Przekątna. $|BD|^2 = 34 + 15 = 49$, $\ |BD| = 7$.
4. Promień. $2R = \frac{7}{\sin120^\circ}$, $\ R = \frac{7\sqrt3}{3}$.

1 pkt za zapis twierdzenia cosinusów dla $BD$ w obu trójkątach z $\cos\angle C = -\cos\alpha$. 2 pkt za $\alpha = 120^\circ$. 3 pkt za $|BD| = 7$. 4 pkt za $R$.

(0–3 pkt) Trapez równoramienny jest opisany na okręgu o promieniu $4$, a jego ramię ma długość $10$. Oblicz długości podstaw.

Rozwiązanie i punktacja

1. Wysokość i suma. $h = 8$; suma podstaw równa sumie ramion: $20$.
2. Różnica. połowa różnicy podstaw $\sqrt{100 - 64} = 6$, różnica $12$.
3. Podstawy. $16$ i $4$.

1 pkt za $h = 8$ i sumę podstaw $20$. 2 pkt za różnicę $12$. 3 pkt za podstawy $16$ i $4$.

(0–3 pkt) Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg, a jego przekątne przecinają się w punkcie $E$. Wykaż, że $|AE|\cdot|EC| = |BE|\cdot|ED|$.

Rozwiązanie i punktacja

1. Kąty. $\angle BAC = \angle BDC$ (kąty wpisane oparte na łuku $BC$); $\ \angle AEB = \angle DEC$ (wierzchołkowe).
2. Podobieństwo. $\triangle ABE \sim \triangle DCE$ (kkk), czyli $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow C$, $E \leftrightarrow E$.
3. Proporcja. $\frac{|AE|}{|DE|} = \frac{|BE|}{|CE|}$, stąd $|AE|\cdot|EC| = |BE|\cdot|ED|$.

1 pkt za równość kątów wpisanych z uzasadnieniem. 2 pkt za podobieństwo trójkątów z poprawnym przyporządkowaniem wierzchołków. 3 pkt za tezę.