Matematyka i fizyka od podstaw
PLEN

Matura z matematyki › 13.1 Granice i ciągłość funkcji, własność Darboux › Trening · PDF do druku

Matura · poziom rozszerzony · trening 13.1

Trening: granice, ciągłość, Darboux

Zestawy krótkich przykładów do lekcji 13.1 Granice i ciągłość funkcji, własność Darboux: granice z 00\frac00, granice jednostronne i w nieskończoności, ciągłość funkcji sklejanych i wartości do dowodów z własności Darboux. Na końcu zadania w stylu arkusza rozszerzonego.

Poziom A · granice z 0/0

Zestawy A

1 zestaw

  1. Oblicz granicę.

    1. lim⁡x→1x2−1x−1\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^2 - 1}{x - 1}
    2. lim⁡x→−2x2−4x+2\displaystyle\lim_{x\to-2}\frac{x^2 - 4}{x + 2}
    3. lim⁡x→0x2+3xx\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^2 + 3x}{x}
    4. lim⁡x→3x2−5x+6x−3\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^2 - 5x + 6}{x - 3}
    5. lim⁡x→1x3−1x−1\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^3 - 1}{x - 1}
    Odpowiedzi

    a) 22   b) −4-4   c) 33   d) 11   e) x2+x+1→3x^2 + x + 1 \to 3

Poziom B · jednostronne i w nieskończoności

Zestawy B

1 zestaw

  1. Oblicz granicę.

    1. lim⁡x→+∞2x+1x−3\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2x + 1}{x - 3}
    2. lim⁡x→+∞x2x3+1\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x^3 + 1}
    3. lim⁡x→0+1x\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac1x
    4. lim⁡x→0−1x\displaystyle\lim_{x\to0^-}\frac1x
    5. lim⁡x→−∞1−x22x2+x\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{1 - x^2}{2x^2 + x}
    Odpowiedzi

    a) 22   b) 00   c) +∞+\infty   d) −∞-\infty   e) −12-\frac12

Poziom C · ciągłość z parametrem

Zestawy C

1 zestaw

  1. Wyznacz parametr, dla którego funkcja jest ciągła.

    1. x+ax + a dla x<0x < 0,  x2+2\ x^2 + 2 dla x≥0x \ge 0
    2. 2x−b2x - b dla x≤1x \le 1,  bx+4\ bx + 4 dla x>1x > 1
    3. x2−16x−4\frac{x^2 - 16}{x - 4} dla x≠4x \ne 4,  k\ k dla x=4x = 4
    Odpowiedzi

    a) a=2a = 2   b) b=−1b = -1   c) k=8k = 8

Poziom D · wartości do dowodu z Darboux

Zestawy D

1 zestaw

  1. Oblicz wartości funkcji w podanych punktach i wskaż przedziały, w których na pewno jest miejsce zerowe.

    1. x3+2x−5x^3 + 2x - 5 w 11 i 22
    2. 2x−3x2^x - 3x w 33 i 44
    3. x4−3x−1x^4 - 3x - 1 w −1-1, 00, 11, 22
    Odpowiedzi

    a) −2-2 i 77: pierwiastek w (1,2)(1, 2)   b) −1-1 i 44: pierwiastek w (3,4)(3, 4)   c) 3,−1,−3,93, -1, -3, 9: pierwiastki w (−1,0)(-1, 0) i (1,2)(1, 2)

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu rozszerzonym CKE: dowód i krótkie zadanie otwarte.

Zadania w stylu arkusza

2 zadania · 5 pkt

  1. (0–3 pkt) Wykaż, że funkcja f(x)=x3−6x+2f(x) = x^3 - 6x + 2 ma dokładnie trzy miejsca zerowe.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Wartości. f(−3)=−7f(-3) = -7, f(−2)=6f(-2) = 6, f(0)=2f(0) = 2, f(1)=−3f(1) = -3, f(3)=11f(3) = 11.
    2. Znaki i ciągłość. zmiany znaku na [−3,−2][-3, -2], [0,1][0, 1], [1,3][1, 3]; ff jest wielomianem, więc jest ciągła na każdym z nich.
    3. Wniosek. z własności Darboux w każdym z trzech rozłącznych przedziałów jest miejsce zerowe; wielomian stopnia 33 ma ich co najwyżej trzy, więc dokładnie trzy.  ■\ \blacksquare

    1 pkt za wartości w punktach dających trzy zmiany znaku. 2 pkt za uzasadnienie ciągłości i powołanie się na własność Darboux. 3 pkt za argument „co najwyżej trzy”.

  2. (0–2 pkt) Oblicz granicę lim⁡x→−1x3+1x2−1\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{x^3 + 1}{x^2 - 1}.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Rozkład. (x+1)(x2−x+1)(x+1)(x−1)=x2−x+1x−1\frac{(x+1)(x^2 - x + 1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}.
    2. Granica. 3−2=−32\frac{3}{-2} = -\frac32.

    1 pkt za skrócenie przez x+1x + 1. 2 pkt za −32-\frac32.