Matematyka i fizyka od podstaw
PLEN

Matura z matematyki › 6.4 Granice ciągów i szereg geometryczny › Trening · PDF do druku

Matura · poziom rozszerzony · trening 6.4

Trening: granice ciągów i szereg geometryczny

Zestawy krótkich przykładów do lekcji 6.4 Granice ciągów i szereg geometryczny: granice ilorazów wielomianów, sumy i symbol Newtona w liczniku, twierdzenie o trzech ciągach, sumy szeregów i równania z szeregiem. Na końcu zadania w stylu arkusza rozszerzonego.

Poziom A · granice

Zestawy A

2 zestawy

  1. Oblicz granicę przy n→∞n \to \infty.

    1. 4n+12n−3\dfrac{4n + 1}{2n - 3}
    2. n2−53n3+n\dfrac{n^2 - 5}{3n^3 + n}
    3. (2n+1)2n2+1\dfrac{(2n + 1)^2}{n^2 + 1}
    4. 1−2n2n2+n\dfrac{1 - 2n^2}{n^2 + n}
    5. n3n2+1−n\dfrac{n^3}{n^2 + 1} - n
    6. n2+6n−n\sqrt{n^2 + 6n} - n
    Odpowiedzi

    a) 22   b) 00   c) 44   d) −2-2   e) 00   f) 33

  2. Zamień licznik na wielomian i oblicz granicę.

    1. 1+2+⋯+nn2\dfrac{1 + 2 + \dots + n}{n^2}
    2. 2+4+⋯+2nn2+3n\dfrac{2 + 4 + \dots + 2n}{n^2 + 3n}
    3. (n3)n3+1\dfrac{\binom n3}{n^3 + 1}
    4. (n+2n)4n2\dfrac{\binom{n+2}{n}}{4n^2}
    5. 3n+4nn\sqrt[n]{3^n + 4^n}
    Odpowiedzi

    a) 12\tfrac12   b) 11   c) 16\tfrac16   d) 18\tfrac18   e) 44

Poziom B · szeregi

Zestawy B

1 zestaw

  1. Oblicz sumę (albo stwierdź, że nie istnieje).

    1. 12+4+43+…12 + 4 + \tfrac43 + \dots
    2. 10−5+52−…10 - 5 + \tfrac52 - \dots
    3. 1−2+4−…1 - 2 + 4 - \dots
    4. 0,(7)0{,}(7) jako ułamek
    5. 0,2(15)0{,}2(15) jako ułamek
    6. 2+1+12+…\sqrt2 + 1 + \tfrac{1}{\sqrt2} + \dots
    Odpowiedzi

    a) 1818   b) 203\tfrac{20}{3}   c) nie istnieje   d) 79\tfrac79   e) 71330\tfrac{71}{330}   f) 2+222 + 2\sqrt2

Poziom C · równania i parametry

Zestawy C

1 zestaw

  1. Rozwiąż albo wyznacz parametr.

    1. 2+2x+2x2+⋯=32 + 2x + 2x^2 + \dots = 3
    2. x+x2+x3+⋯=2x + x^2 + x^3 + \dots = 2
    3. dla jakich xx istnieje suma 1+x2+x24+…1 + \tfrac{x}{2} + \tfrac{x^2}{4} + \dots
    4. S=9S = 9, a1=6a_1 = 6;  q\ q
    5. lim⁡pn2+1(2−p)n2+n=1\lim \dfrac{pn^2 + 1}{(2 - p)n^2 + n} = 1;  p\ p
    Odpowiedzi

    a) x=13x = \tfrac13   b) x=23x = \tfrac23   c) x∈(−2, 2)x \in (-2,\,2)   d) 13\tfrac13   e) 11

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu rozszerzonym CKE. W zadaniach z szeregiem ostatni punkt jest za sumy policzone tylko dla ∣q∣<1|q| < 1.

Zadania w stylu arkusza

3 zadania · 9 pkt

  1. (0–2 pkt) Oblicz granicę lim⁡n→∞3+7+11+⋯+(4n−1)2n2+5\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{3 + 7 + 11 + \dots + (4n - 1)}{2n^2 + 5}.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Suma. nn składników, 3+4n−12⋅n=(2n+1)n\frac{3 + 4n - 1}{2} \cdot n = (2n + 1)n.
    2. Granica. 2n2+n2n2+5→1\dfrac{2n^2 + n}{2n^2 + 5} \to 1.

    1 pkt za sumę (2n+1)n(2n + 1)n. 2 pkt za granicę 11.

  2. (0–4 pkt) Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego jest równa 1616, a suma jego wyrazów o numerach parzystych 163\frac{16}{3}. Wyznacz a1a_1 i qq.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Równania. a11−q=16\dfrac{a_1}{1 - q} = 16,  a1q1−q2=163\ \dfrac{a_1q}{1 - q^2} = \dfrac{16}{3}.
    2. Dzielenie. q1+q=13\dfrac{q}{1 + q} = \dfrac13, q=12q = \tfrac12.
    3. Wynik. a1=8a_1 = 8; ∣q∣<1|q| < 1 ✓.

    1 pkt za oba równania. 2 pkt za równanie z jedną niewiadomą. 3 pkt za q=12q = \frac12. 4 pkt za a1=8a_1 = 8 ze sprawdzeniem ∣q∣<1|q| < 1.

  3. (0–3 pkt) Wyznacz wszystkie xx, dla których 1−x3+x29−⋯=x+341 - \dfrac{x}{3} + \dfrac{x^2}{9} - \dots = \dfrac{x + 3}{4} (lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego).

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Warunek. q=−x3q = -\frac x3, ∣q∣<1|q| < 1: x∈(−3, 3)x \in (-3,\,3).
    2. Równanie. 11+x3=3x+3=x+34\dfrac{1}{1 + \frac x3} = \dfrac{3}{x + 3} = \dfrac{x + 3}{4}, czyli (x+3)2=12(x + 3)^2 = 12.
    3. Wynik. x=−3±23x = -3 \pm 2\sqrt3; do (−3, 3)(-3,\,3) należy tylko x=23−3x = 2\sqrt3 - 3.

    1 pkt za warunek ∣x∣<3|x| < 3. 2 pkt za równanie (x+3)2=12(x + 3)^2 = 12. 3 pkt za x=23−3x = 2\sqrt3 - 3 z odrzuceniem drugiego.