Matematyka i fizyka od podstaw
PLEN

Matura z matematyki › 5.1 Funkcja i jej wykres: odczytywanie własności › Trening · PDF do druku

Matura · poziom podstawowy · trening 5.1

Trening: funkcja i jej wykres

Zestawy krótkich przykładów do lekcji 5.1 Funkcja i jej wykres: odczytywanie własności: wartości funkcji danej wzorem i przedziałami, miejsca zerowe z odrzucaniem, dziedzina i zbiór wartości funkcji przedziałami liniowej oraz zbiory rozwiązań warunków f(x)≷cf(x) \gtrless c. Funkcje z zestawów C najlepiej naszkicuj albo sprawdź w symulacji lekcji. Na końcu zadania w stylu arkusza.

Poziom A · wartości i miejsca zerowe

Zestawy A

2 zestawy

  1. Oblicz wartość funkcji f(x)={x2−2xdla x≤14−3xdla x>1f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x & \text{dla } x \le 1 \\ 4 - 3x & \text{dla } x > 1 \end{cases} dla podanego argumentu.

    1. f(−2)f(-2)
    2. f(0)f(0)
    3. f(1)f(1)
    4. f(2)f(2)
    5. f(2)f(\sqrt2)
    6. f(−3)f(-\sqrt3)
    Odpowiedzi

    a) 88   b) 00   c) −1-1   d) −2-2   e) 4−324 - 3\sqrt2   f) 3+233 + 2\sqrt3

  2. Wyznacz wszystkie miejsca zerowe (albo stwierdź, że ich nie ma).

    1. {2x+4dla x<0x−5dla x≥0\begin{cases} 2x + 4 & \text{dla } x < 0 \\ x - 5 & \text{dla } x \ge 0 \end{cases}
    2. {x+3dla x≥01−xdla x<0\begin{cases} x + 3 & \text{dla } x \ge 0 \\ 1 - x & \text{dla } x < 0 \end{cases}
    3. {x2−1dla x≤02x−6dla x>0\begin{cases} x^2 - 1 & \text{dla } x \le 0 \\ 2x - 6 & \text{dla } x > 0 \end{cases}
    4. {x2−4xdla x<2x−1dla x≥2\begin{cases} x^2 - 4x & \text{dla } x < 2 \\ x - 1 & \text{dla } x \ge 2 \end{cases}
    5. {3x−6dla x≤2−x+2dla x>2\begin{cases} 3x - 6 & \text{dla } x \le 2 \\ -x + 2 & \text{dla } x > 2 \end{cases}
    Odpowiedzi

    a) −2, 5-2,\ 5   b) brak   c) −1, 3-1,\ 3   d) 00   e) 22

Poziom B · tabela i parametr

Zestawy B

2 zestawy

  1. Funkcja ff jest określona tabelą: f(−2)=3f(-2) = 3, f(−1)=0f(-1) = 0, f(0)=−2f(0) = -2, f(1)=0f(1) = 0, f(2)=3f(2) = 3, f(3)=5f(3) = 5. Odpowiedz.

    1. liczba miejsc zerowych
    2. zbiór wartości
    3. dla ilu argumentów f(x)=3f(x) = 3
    4. f(f(−1))f(f(-1))
    5. zbiór argumentów, dla których f(x)>0f(x) > 0
    Odpowiedzi

    a) 22   b) {−2, 0, 3, 5}\{-2,\,0,\,3,\,5\}   c) 22   d) f(0)=−2f(0) = -2   e) {−2, 2, 3}\{-2,\,2,\,3\}

  2. Wyznacz parametr.

    1. f(x)=3x+mf(x) = 3x + m,  f(2)=−1\ f(2) = -1
    2. f(x)=x2−kx+6f(x) = x^2 - kx + 6 ma miejsce zerowe 33
    3. f(x)=ax2−3f(x) = ax^2 - 3,  f(−2)=9\ f(-2) = 9
    4. f(x)=2x2+bx−4f(x) = 2x^2 + bx - 4 ma miejsce zerowe −2-2
    5. f(x)=x2−c−3f(x) = x^2 - c - \sqrt3 ma miejsce zerowe 3−1\sqrt3 - 1
    Odpowiedzi

    a) m=−7m = -7   b) k=5k = 5   c) a=3a = 3   d) b=2b = 2   e) c=4−33c = 4 - 3\sqrt3

Poziom C · funkcja przedziałami liniowa

Zestawy C

3 zestawy

  1. f(x)={x+3dla x∈[−4, −1)2dla x∈[−1, 1]−x+3dla x∈(1, 4]f(x) = \begin{cases} x + 3 & \text{dla } x \in [-4,\,-1) \\ 2 & \text{dla } x \in [-1,\,1] \\ -x + 3 & \text{dla } x \in (1,\,4] \end{cases}. Podaj.

    1. dziedzinę
    2. zbiór wartości
    3. miejsca zerowe
    4. zbiór rozwiązań f(x)=2f(x) = 2
    5. zbiór rozwiązań f(x)>0f(x) > 0
    6. zbiór rozwiązań f(x)≤1f(x) \le 1
    Odpowiedzi

    a) [−4, 4][-4,\,4]   b) [−1, 2][-1,\,2]   c) −3, 3-3,\ 3   d) [−1, 1][-1,\,1]   e) (−3, 3)(-3,\,3)   f) [−4, −2]∪[2, 4][-4,\,-2] \cup [2,\,4]

  2. f(x)={−2x−4dla x∈[−5, −2]x+2dla x∈(−2, 2)4dla x∈[2, 5)f(x) = \begin{cases} -2x - 4 & \text{dla } x \in [-5,\,-2] \\ x + 2 & \text{dla } x \in (-2,\,2) \\ 4 & \text{dla } x \in [2,\,5) \end{cases}. Podaj.

    1. zbiór wartości
    2. miejsca zerowe
    3. największą wartość i argumenty, dla których jest przyjmowana
    4. zbiór rozwiązań f(x)=4f(x) = 4
    5. zbiór rozwiązań f(x)<2f(x) < 2
    6. przedziały monotoniczności
    Odpowiedzi

    a) [0, 6][0,\,6]   b) −2-2   c) 66 dla x=−5x = -5   d) {−4}∪[2, 5)\{-4\} \cup [2,\,5)   e) (−3, 0)(-3,\,0)   f) malejąca w [−5, −2][-5,\,-2], rosnąca w [−2, 2][-2,\,2], stała w [2, 5)[2,\,5)

  3. f(x)={x+5dla x∈[−5, −2)−xdla x∈[−2, 3]1dla x∈(3, 5]f(x) = \begin{cases} x + 5 & \text{dla } x \in [-5,\,-2) \\ -x & \text{dla } x \in [-2,\,3] \\ 1 & \text{dla } x \in (3,\,5] \end{cases} (ze skokiem). Podaj.

    1. zbiór wartości
    2. czy istnieje największa wartość
    3. najmniejszą wartość
    4. zbiór rozwiązań f(x)=1f(x) = 1
    5. zbiór rozwiązań f(x)≥2f(x) \ge 2
    6. liczbę rozwiązań równania f(x)=2f(x) = \sqrt2
    Odpowiedzi

    a) [−3, 3)[-3,\,3)   b) nie (33 nie jest przyjmowane)   c) −3-3 dla x=3x = 3   d) {−4, −1}∪(3, 5]\{-4,\,-1\} \cup (3,\,5]   e) [−3, −2][-3,\,-2] (bo f(−2)=2f(-2) = 2)   f) 22

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu CKE: luki z przedziałami (każde zdanie to osobny punkt), zadania zamknięte i P/F. W lukach z przedziałami liczy się każdy nawias.

Zadania w stylu arkusza

5 zadań · 10 pkt

  1. (0–4 pkt) Funkcja ff jest określona wzorem f(x)={2x+6dla x∈[−4, −1)−x+3dla x∈[−1, 3]x−3dla x∈(3, 5]f(x) = \begin{cases} 2x + 6 & \text{dla } x \in [-4,\,-1) \\ -x + 3 & \text{dla } x \in [-1,\,3] \\ x - 3 & \text{dla } x \in (3,\,5] \end{cases}. Uzupełnij zdania.

    1. Zbiorem wartości funkcji ff jest przedział ………… .
    2. Funkcja ff ma ………… miejsca zerowe.
    3. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f(x)≥2f(x) \ge 2 jest zbiór ………… .
    4. Największa wartość funkcji ff w przedziale [0, 5][0,\,5] jest równa ………… .

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Zbiór wartości. lewa gałąź od f(−4)=−2f(-4) = -2 do 44 (bez 44), czyli [−2, 4)[-2,\,4); środkowa od f(−1)=4f(-1) = 4 do f(3)=0f(3) = 0, czyli [0, 4][0,\,4]; prawa (0, 2](0,\,2]. Razem [−2, 4][-2,\,4].
    2. Miejsca zerowe. 2x+6=02x + 6 = 0 dla x=−3x = -3; −x+3=0-x + 3 = 0 dla x=3x = 3; x−3=0x - 3 = 0 dla x=3∉(3, 5]x = 3 \notin (3,\,5]. Dwa miejsca zerowe: −3-3 i 33.
    3. Nierówność. 2x+6≥22x + 6 \ge 2 dla x≥−2x \ge -2, czyli [−2, −1)[-2,\,-1); −x+3≥2-x + 3 \ge 2 dla x≤1x \le 1, czyli [−1, 1][-1,\,1]; x−3≥2x - 3 \ge 2 dla x≥5x \ge 5, czyli {5}\{5\}. Razem [−2, 1]∪{5}[-2,\,1] \cup \{5\}.
    4. Wartość największa w [0, 5][0,\,5]. f(0)=3f(0) = 3, środkowa gałąź maleje, prawa dochodzi do f(5)=2f(5) = 2. Największa to 33.

    1 pkt za każde poprawnie uzupełnione zdanie.

    Uwaga: w zdaniu 3 łatwo zgubić punkt {5}\{5\}: tam prawa gałąź dochodzi do 22, a 55 należy do dziedziny.

  2. (0–1 pkt) Funkcja ff jest określona wzorem f(x)={x2−16dla x≤22x−1dla x>2f(x) = \begin{cases} x^2 - 16 & \text{dla } x \le 2 \\ 2x - 1 & \text{dla } x > 2 \end{cases}. Liczba miejsc zerowych funkcji ff jest równa

    A.00B.11C.22D.33
    Odpowiedź

    B.

    1. x2−16=0x^2 - 16 = 0 daje x=±4x = \pm 4; warunek x≤2x \le 2 spełnia tylko −4-4.
    2. 2x−1=02x - 1 = 0 daje x=12x = \tfrac12, ale 12≯2\tfrac12 \not> 2.

  3. (0–1 pkt) Funkcja f(x)=3x2−kx−4f(x) = 3x^2 - kx - 4 ma miejsce zerowe x=2x = 2. Wtedy

    A.k=−4k = -4B.k=2k = 2C.k=4k = 4D.k=8k = 8
    Odpowiedź

    C.

    1. 12−2k−4=012 - 2k - 4 = 0
    2. 2k=82k = 8, więc k=4k = 4.

  4. (0–2 pkt) Funkcja ff jest określona tabelą:

    xx−3-3−2-2−1-1001122
    f(x)f(x)2200−1-122−1-100

    Oceń prawdziwość zdań. Wybierz P albo F.

    1. Funkcja ff ma dwa miejsca zerowe.   P   F
    2. Wykres funkcji ff jest symetryczny względem osi OyOy.   P   F
    3. Zbiór wartości funkcji ff ma trzy elementy.   P   F

    Rozwiązanie i punktacja

    PFP.

    1. Zera w x=−2x = -2 i x=2x = 2: dwa.
    2. Symetria: dziedzina nie jest symetryczna (−3-3 jest, 33 nie ma), więc nie.
    3. Zbiór wartości {−1, 0, 2}\{-1,\,0,\,2\}: trzy elementy.

    2 pkt za trzy poprawne oceny. 1 pkt za dwie.

  5. (0–2 pkt) Funkcja ff jest określona wzorem f(x)={x+4dla x∈[−4, 0)4−2xdla x∈[0, 4]f(x) = \begin{cases} x + 4 & \text{dla } x \in [-4,\,0) \\ 4 - 2x & \text{dla } x \in [0,\,4] \end{cases}. Uzupełnij zdania.

    1. Równanie f(x)=5f(x) = \sqrt5 ma ………… rozwiązania.
    2. Najmniejsza wartość funkcji ff jest równa ………… .

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Równanie. x+4=5x + 4 = \sqrt5 daje x=5−4∈[−4, 0)x = \sqrt5 - 4 \in [-4,\,0); 4−2x=54 - 2x = \sqrt5 daje x=4−52∈[0, 4]x = \tfrac{4 - \sqrt5}{2} \in [0,\,4]. Dwa rozwiązania.
    2. Najmniejsza. lewa gałąź [0, 4)[0,\,4), prawa [−4, 4][-4,\,4]; najmniejsza f(4)=−4f(4) = -4.

    1 pkt za każde zdanie.