Trening: 4.1 Układy równań liniowych i zadania tekstowe

Poziom A · układy

Zestawy A

2 zestawy

Rozwiąż układ.
1. $x + y = 7$ , $\ x - y = 1$
2. $2x + 3y = 12$ , $\ x - y = 1$
3. $4x - 3y = 1$ , $\ 2x + 5y = 7$
4. $\tfrac x2 + y = 4$ , $\ x - \tfrac y3 = 1$
5. $0{,}2x + 0{,}5y = 2$ , $\ x + y = 7$
Odpowiedzi
a) $(4,\,3)$ b) $(3,\,2)$ c) $(1,\,1)$ d) $(2,\,3)$ e) $(5,\,2)$
Podaj rodzaj układu: oznaczony (O), sprzeczny (S), nieoznaczony (N).
1. $x - 2y = 3$ , $\ 2x - 4y = 6$
2. $x - 2y = 3$ , $\ 2x - 4y = 5$
3. $x - 2y = 3$ , $\ 2x + 4y = 6$
4. $y = 3x - 1$ , $\ 6x - 2y = 2$
5. $y = -x$ , $\ x + y = 1$
Odpowiedzi
a) N b) S c) O d) N e) S

Poziom B · przekład na równania

Zestawy B

1 zestaw

Zapisz jako równanie ( $x$ , $y$ – liczby z treści).
1. $x$ jest o $5$ większe od podwojonego $y$
2. gdyby $y$ zmniejszyć o $3$ , byłoby trzy razy mniejsze od $x$
3. $x$ stanowi $40\%$ sumy $x$ i $y$
4. po obniżce o $15\%$ cena $x$ wynosi $y$
5. $12\%$ z $x$ i $8\%$ z $y$ to razem $500$
6. średnia arytmetyczna $x$ i $y$ wynosi $14$
Odpowiedzi
a) $x = 2y + 5$ b) $3(y - 3) = x$ c) $x = 0{,}4(x + y)$ d) $0{,}85x = y$ e) $0{,}12x + 0{,}08y = 500$ f) $x + y = 28$

Poziom C · krótkie zadania tekstowe

Zestawy C

1 zestaw

Rozwiąż.
1. $5$ kg jabłek i $2$ kg gruszek kosztuje $23$ zł, $2$ kg jabłek i $5$ kg gruszek $26$ zł; cena kg jabłek
2. $50$ monet po $2$ zł i $5$ zł, razem $190$ zł; ile pięciozłotówek
3. dwie liczby: suma $40$ , różnica $12$
4. $1000$ zł na dwóch lokatach, $3\%$ i $5\%$ , odsetki razem $42$ zł; ile na $5\%$
5. mieszanka $10$ kg kawy po $60$ i $40$ zł/kg, cena mieszanki $52$ zł/kg; ile kg droższej
Odpowiedzi
a) $3$ zł b) $30$ c) $26$ i $14$ d) $600$ zł e) $6$ kg

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu CKE: zadanie tekstowe za 2 punkty (1 punkt za model, 2 za wynik), wybór układu do treści i rodzaj układu.

Zadania w stylu arkusza

5 zadań · 8 pkt

(0–2 pkt) Fundacja rozdzieliła $450\,000$ zł między dwa projekty. Projekt A wykorzystał $16\%$ swojej kwoty, projekt B $20\%$ swojej kwoty, łącznie $78\,000$ zł. Oblicz kwotę przyznaną projektowi B.
Rozwiązanie i punktacja
1. Układ. $a + b = 450\,000$ , $\ 0{,}16a + 0{,}2b = 78\,000$ .
2. Podstawienie. $72\,000 - 0{,}16b + 0{,}2b = 78\,000$ , $0{,}04b = 6000$ .
3. Wynik. $b = 150\,000$ zł.
1 pkt za układ. 2 pkt za wynik.
(0–2 pkt) Za $4$ bilety normalne i $3$ ulgowe zapłacono $116$ zł, a za $2$ normalne i $5$ ulgowych $100$ zł. Oblicz cenę biletu ulgowego.
Rozwiązanie i punktacja
1. Układ. $4n + 3u = 116$ , $\ 2n + 5u = 100$ .
2. Eliminacja. drugie razy $2$ : $4n + 10u = 200$ ; odejmujemy: $7u = 84$ .
3. Wynik. $u = 12$ zł (normalny $20$ zł).
1 pkt za układ. 2 pkt za $12$ zł.
(0–1 pkt) Dla jakich $a$ i $b$ para $(-2,\,3)$ jest rozwiązaniem układu $ax + 2y = 2$ , $\ 3x - by = 0$ ?

A. $a = 2,\ b = -2$ B. $a = 2,\ b = 2$ C. $a = -2,\ b = 2$ D. $a = 4,\ b = -2$
Odpowiedź
A.
1. $-2a + 6 = 2$ , $a = 2$ .
2. $-6 - 3b = 0$ , $b = -2$ .
(0–1 pkt) Układ $\begin{cases} 2x + y = 3 \\ 4x + 2y = 6 \end{cases}$

A.nie ma rozwiązańB.ma jedno rozwiązanieC.ma dwa rozwiązaniaD.ma nieskończenie wiele rozwiązań

Odpowiedź
D. Drugie równanie to pierwsze razy $2$ .
(0–2 pkt) W dwóch klasach jest razem $60$ uczniów. Gdyby z pierwszej klasy przeszło do drugiej $4$ uczniów, w drugiej byłoby o $50\%$ więcej uczniów niż w pierwszej. Ilu uczniów jest w pierwszej klasie?
Rozwiązanie i punktacja
1. Układ. $x + y = 60$ , $\ y + 4 = 1{,}5(x - 4)$ .
2. Podstawienie. $64 - x = 1{,}5x - 6$ , $2{,}5x = 70$ .
3. Wynik. $x = 28$ (w drugiej $32$ ; po przejściu $24$ i $36 = 1{,}5 \cdot 24$ ✓).
1 pkt za układ. 2 pkt za $28$ .

Uwaga: „o $50\%$ więcej niż w pierwszej” odnosi się do liczby uczniów w pierwszej klasie po przejściu, czyli $x - 4$ .