Arkusz próbny do rozwiązania: poziom podstawowy

(0–1 pkt) Liczba $\dfrac{2^5\cdot4^{-2}}{8^{-1}}$ jest równa

(0–1 pkt) Liczba $\sqrt{50} - \sqrt{18}$ jest równa

(0–1 pkt) Liczba $\log_3 54 - \log_3 2$ jest równa

(0–1 pkt) Po podwyżce o $20\%$ cena towaru wynosi $72$ zł. Przed podwyżką cena była równa

(0–1 pkt) Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $|x - 3| \le 2$ jest przedział

(0–1 pkt) Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wyrażenie $(2x - 3)^2 - (2x + 3)^2$ jest równe

(0–1 pkt) Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $3 - 2x > 7$ jest przedział

(0–1 pkt) Rozwiązaniem układu równań $\begin{cases}x + y = 5\\ 2x - y = 4\end{cases}$ jest para

(0–1 pkt) Funkcja liniowa $f(x) = (m - 2)x + 3$ jest malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy

(0–1 pkt) Wierzchołkiem paraboli $y = 2x^2 - 4x - 6$ jest punkt

(0–1 pkt) W ciągu arytmetycznym $a_1 = 3$ i różnica $r = 4$. Wyraz $a_{10}$ jest równy

(0–1 pkt) W ciągu geometrycznym $a_2 = 6$ i $a_5 = 48$. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

(0–1 pkt) Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha = \frac35$. Wtedy $\operatorname{tg}\alpha$ jest równy

(0–1 pkt) Dwa boki trójkąta mają długości $5$ i $6$, a kąt między nimi ma miarę $30^\circ$. Pole tego trójkąta jest równe

(0–1 pkt) Kąt środkowy w okręgu ma miarę $110^\circ$. Kąt wpisany oparty na tym samym łuku ma miarę

(0–1 pkt) Trójkąty $ABC$ i $KLM$ są podobne w skali $3$ (trójkąt $KLM$ jest większy). Pole trójkąta $ABC$ jest równe $4$. Pole trójkąta $KLM$ jest równe

(0–1 pkt) Prosta prostopadła do prostej $y = 2x - 1$ i przechodząca przez punkt $(0, 3)$ ma równanie

(0–1 pkt) Środkiem odcinka o końcach $A = (-2, 5)$ i $B = (4, -1)$ jest punkt

(0–1 pkt) Przekątna sześcianu ma długość $6\sqrt3$. Objętość tego sześcianu jest równa

(0–1 pkt) Liczb trzycyfrowych parzystych, których wszystkie cyfry należą do zbioru $\{1, 2, 3, 4\}$ (cyfry mogą się powtarzać), jest

(0–1 pkt) Średnia arytmetyczna liczb $2, 4, x, 10$ jest równa $6$. Wtedy $x$ jest równe

(0–1 pkt) Dana jest funkcja $f(x) = 2x^2 - 4x - 6$. Oceń prawdziwość zdań.

1. Miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby $-1$ i $3$.   P   F
2. Funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $(-\infty, 1]$.   P   F

(0–1 pkt) Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = n^2 - 6n$ dla $n \ge 1$. Oceń prawdziwość zdań.

1. $a_3 = -9$.   P   F
2. Ciąg $(a_n)$ jest rosnący.   P   F

(0–2 pkt) Dana jest funkcja $f(x) = \log_2(x + 4)$. Wybierz dwa zdania prawdziwe.

A. Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $(-4, +\infty)$.
B. $f(0) = 2$.
C. Funkcja $f$ jest malejąca.
D. Miejscem zerowym funkcji $f$ jest $-4$.
E. $f(4) = 4$.

(0–1 pkt) Uzupełnij zdanie. Najmniejszą liczbą naturalną dodatnią podzielną jednocześnie przez $6$ i przez $15$ jest ……… .

(0–2 pkt) Rozwiąż nierówność $2x^2 - x - 6 \ge 0$.

(0–2 pkt) Rozwiąż równanie $\dfrac{x + 3}{x - 1} = 2$.

(0–2 pkt) Losujemy liczbę $x$ ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ i liczbę $y$ ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn $xy$ jest podzielny przez $5$.

(0–2 pkt) Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $n^3 - n$ jest podzielna przez $6$.

(0–2 pkt) Wyznacz równanie okręgu o środku $S = (2, -1)$ przechodzącego przez punkt $A = (5, 3)$.

(0–3 pkt) Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny, a ich suma jest równa $15$. Jeśli do pierwszej dodamy $1$, do drugiej $3$, a do trzeciej $9$, otrzymamy ciąg geometryczny. Wyznacz te trzy liczby.

(0–3 pkt) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość $6$, a ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60^\circ$. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej ostrosłupa.

(0–4 pkt) Prostokątną działkę przy prostym brzegu rzeki ogrodzono siatką z trzech stron (od strony rzeki nie ma ogrodzenia). Zużyto $120$ m siatki. Wyznacz wymiary działki o największym polu i to pole.

(0–4 pkt) Dany jest trójkąt o wierzchołkach $A = (-1, -2)$, $B = (5, 0)$, $C = (1, 6)$. Wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta poprowadzoną z wierzchołka $C$ i oblicz pole trójkąta $ABC$.