8 Asysta grawitacyjna · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Prolog: Wielka Podróż

W 1965 roku Gary Flandro, student pracujący latem w JPL, zauważył, że pod koniec lat 70. Jowisz, Saturn, Uran i Neptun ustawią się tak, że jedna sonda może odwiedzić wszystkie cztery, odbijając się od każdej planety do następnej. Takie ustawienie zdarza się mniej więcej raz na 175 lat. Kilka lat wcześniej Michael Minovitch, także w JPL, opracował rachunki takich przelotów.

Z wielkiego programu zostały dwie sondy Voyager. Voyager 2, wystrzelony w 1977 roku, przeleciał obok Jowisza (1979), Saturna (1981), Urana (1986) i Neptuna (1989). Bez asyst lot do Neptuna po elipsie Hohmanna trwałby ok. 30 lat; Voyager 2 doleciał w 12.

Pytanie na start. Sonda zbliża się do Jowisza z prędkością 5,6 km/s względem planety i po przelocie oddala się z prędkością 5,6 km/s względem planety. Skąd sonda wzięła energię, żeby względem Słońca przyspieszyć z 7,4 do 17,9 km/s? Odpowiedź w części 2.

1 Przelot w układzie planety

W sferze wpływu planety sonda porusza się po hiperboli (lekcje 1 Zagadnienie dwóch ciał i równanie orbity i 7 Sfery wpływu i podróż międzyplanetarna). Energia względem planety jest stała, więc prędkość nadmiarowa przy wylocie ma tę samą długość co przy nadlocie. Zmienia się tylko kierunek: asymptoty hiperboli tworzą kąt obrotu $\delta$ .

Przelot obok planety

e = 1 + \frac{r_pv_\infty^2}{\mu},\qquad \sin\frac{\delta}{2} = \frac{1}{e},\qquad |\Delta\mathbf v| = |\mathbf v_\infty^+ - \mathbf v_\infty^-| = 2v_\infty\sin\frac{\delta}{2} = \frac{2v_\infty}{e}.

Bliższy przelot (mniejsze $r_p$ ) i masywniejsza planeta (większe $\mu$ ) dają większy obrót. Kierunek obrotu wybiera strona przelotu.

Przy Jowiszu z $v_\infty = 5{,}64$ km/s: przy perycentrum $3R_J$ $e = 1{,}054$ , $\delta = 143^\circ$ , $|\Delta\mathbf v| = 10{,}7$ km/s; przy $30R_J$ $\delta = 81^\circ$ , $|\Delta\mathbf v| = 7{,}3$ km/s. Przy Ziemi z $v_\infty = 5$ km/s i perycentrum 300 km: $\delta = 90^\circ$ , $|\Delta\mathbf v| = 7{,}05$ km/s. Wektor $\Delta\mathbf v$ jest „za darmo”: nie kosztuje paliwa, tylko precyzji nawigacji (perycentrum trzeba trafić z dokładnością, która zależy od planety i $v_\infty$ : przy Jowiszu wystarczy ok. tysiąca kilometrów, przy małych ciałach i bliskich przelotach potrzeba kilku kilometrów).

Zadania · część 1

3 zadania · ok. 20 min

Sonda mija Jowisza ( $\mu = 1{,}267\cdot10^8$ km³/s², $R_J = 71\,492$ km) z $v_\infty = 5{,}64$ km/s w odległości $3R_J$ od środka. Policz $e$ , $\delta$ i $|\Delta\mathbf v|$ .

Odpowiedź
$e = 1 + 214\,476\cdot 31{,}81/1{,}267\cdot10^8 = 1{,}054$ ; $\delta = 2\arcsin(1/1{,}054) = 143{,}2^\circ$ ; $|\Delta\mathbf v| = 2\cdot 5{,}64/1{,}054 = 10{,}7$ km/s.
Przelot obok Ziemi 300 km nad powierzchnią z $v_\infty = 5$ km/s. Ile wynosi kąt obrotu?

Odpowiedź
$e = 1 + 6678\cdot 25/398\,600 = 1{,}419$ , $\delta = 2\arcsin(0{,}705) = 89{,}6^\circ$ , $|\Delta\mathbf v| = 7{,}05$ km/s.
Dlaczego długość $v_\infty$ jest przy wylocie taka sama jak przy nadlocie? Co by ją zmieniło?

Odpowiedź
W układzie planety (w przybliżeniu inercjalnym w czasie przelotu) działa tylko pole zachowawcze planety: energia $v^2/2 - \mu/r$ jest stała, a daleko od planety $\mu/r \to 0$ , więc $v_\infty$ jest ta sama. Zmieniłyby ją: silnik (przelot z napędem, część 5), opór atmosfery albo przyciąganie księżyców planety.

2 Widok ze Słońca: trójkąt prędkości

Względem Słońca prędkość sondy to $\mathbf V = \mathbf V_p + \mathbf v_\infty$ , gdzie $\mathbf V_p$ to prędkość planety. Przelot obraca $\mathbf v_\infty$ , a $\mathbf V_p$ zostaje (planeta jest ogromnie masywniejsza). Końce wektorów $\mathbf V$ przed i po leżą na okręgu o promieniu $v_\infty$ wokół końca $\mathbf V_p$ : długość $\mathbf V$ może się zmienić, i to dużo.

Zmiana energii heliocentrycznej

\Delta\!\left(\frac{V^2}{2}\right) = \mathbf V_p\cdot\Delta\mathbf v,\qquad |\Delta\mathbf v|_{\max} = \sqrt{\frac{\mu}{r_p}}\quad\text{(przy } v_\infty^2 = \mu/r_p\text{)}.

Energia rośnie, gdy $\Delta\mathbf v$ ma składową wzdłuż ruchu planety: sonda przelatuje za planetą. Przelot przed planetą hamuje.

Odpowiedź na pytanie z prologu: od Jowisza. W układzie Słońca planeta wykonuje pracę nad sondą, bo pole grawitacyjne poruszającej się planety nie jest polem statycznym. Planeta traci dokładnie tyle energii, ile zyskuje sonda; przy masie sondy 800 kg Jowisz zwalnia o ok. $4{,}5\cdot10^{-24}$ km/s. To jak odbicie piłki od nadjeżdżającej ciężarówki: względem ciężarówki piłka odbija się z tą samą prędkością, względem ziemi leci dużo szybciej.

Największe możliwe $|\Delta\mathbf v|$ to prędkość kołowa przy powierzchni planety: Jowisz 42,1 km/s, Saturn 25,1, Ziemia 7,9, Wenus 7,3, Mars tylko 3,5 km/s. Dlatego Jowisz jest najważniejszą „stacją przesiadkową” Układu Słonecznego, a Mars prawie się do tego nie nadaje.

Zadania · część 2

3 zadania · ok. 25 min

Pokaż, że $|\Delta\mathbf v| = 2v_\infty/e$ jest największe przy $v_\infty^2 = \mu/r_p$ i wynosi wtedy $\sqrt{\mu/r_p}$ .

Odpowiedź
$|\Delta\mathbf v| = \frac{2v_\infty}{1 + r_pv_\infty^2/\mu}$ . Pochodna po $v_\infty$ znika, gdy $1 + kv^2 - 2kv^2 = 0$ z $k = r_p/\mu$ , czyli $v^2 = \mu/r_p$ . Wtedy $e = 2$ , $\delta = 60^\circ$ i $|\Delta\mathbf v| = 2v/2 = \sqrt{\mu/r_p}$ . Wolniejsza sonda obraca się bardziej, ale ma mały wektor; szybsza ma duży wektor, ale obraca się mało.
Sprawdź wzór $\Delta(V^2/2) = \mathbf V_p\cdot\Delta\mathbf v$ dla $\mathbf V = \mathbf V_p + \mathbf v_\infty$ przy stałym $|\mathbf v_\infty|$ .

Odpowiedź
$V^2 = V_p^2 + 2\mathbf V_p\cdot\mathbf v_\infty + v_\infty^2$ . Przy stałych $V_p$ i $|\mathbf v_\infty|$ zmienia się tylko środkowy wyraz: $\Delta(V^2/2) = \mathbf V_p\cdot(\mathbf v_\infty^+ - \mathbf v_\infty^-) = \mathbf V_p\cdot\Delta\mathbf v$ . W skrypcie a8.py dla Jowisza: 132,6 km²/s² oboma sposobami.
O ile zmienia się prędkość Jowisza ( $1{,}9\cdot10^{27}$ kg), gdy wektor prędkości sondy o masie 800 kg zmienia się o $|\Delta\mathbf v| = 10{,}7$ km/s?

Odpowiedź
Zachowanie pędu: $\Delta V_J \approx 800\cdot 10{,}7/1{,}9\cdot10^{27} = 4{,}5\cdot10^{-24}$ km/s. Nie do zmierzenia. Dokładniej oddaje się energię, ale rząd wielkości ten sam.

3 Przykład: Jowisz jako proca

Sonda przylatuje do Jowisza po elipsie Hohmanna. W aphelium ma względem Słońca 7,42 km/s, Jowisz 13,06 km/s, więc $\mathbf v_\infty$ ma 5,64 km/s i jest skierowane do tyłu (Jowisz dogania sondę). Przelot w odległości $3R_J$ obraca $\mathbf v_\infty$ o $143^\circ$ , prawie do przodu: prędkość względem Słońca rośnie do 17,90 km/s. Prędkość ucieczki z Układu Słonecznego w odległości Jowisza to 18,47 km/s: sonda prawie ucieka, ze stosunkowo wolnego transferu Hohmanna.

Szybszy przylot daje więcej. Z $v_\infty = 10$ km/s i perycentrum $3R_J$ największy przyrost prędkości (ok. 17 km/s) daje nadlot prawie od tyłu planety (sonda wolniejsza od Jowisza): z 3,5 do 20,5 km/s, czyli ucieczka z Układu Słonecznego. Jeśli nadlot jest skierowany bardziej do przodu, prędkość po przelocie może sięgnąć nawet $V_J + v_\infty = 23$ km/s, ale wtedy sonda już przed przelotem leciała szybko. Tak lecą sondy do planet zewnętrznych i dalej: Jowisz zamienia lot trwający dekady w lot trwający lata.

Zadania · część 3

3 zadania · ok. 25 min

Policz prędkość sondy względem Słońca w aphelium elipsy Hohmanna Ziemia–Jowisz ( $a_t = 3{,}101$ AU) i prędkość Jowisza.

Odpowiedź
$V_J = 29{,}78/\sqrt{5{,}203} = 13{,}06$ km/s. W aphelium $V = 29{,}78\sqrt{2/5{,}203 - 1/3{,}101} = 7{,}42$ km/s. $v_\infty = 5{,}64$ km/s do tyłu.
Po obrocie $\mathbf v_\infty$ o $143{,}2^\circ$ (z kierunku „do tyłu”) policz prędkość względem Słońca.

Odpowiedź
$\mathbf v_\infty^+$ tworzy z kierunkiem ruchu Jowisza kąt $180^\circ - 143{,}2^\circ = 36{,}8^\circ$ . $V^2 = 13{,}06^2 + 5{,}64^2 + 2\cdot 13{,}06\cdot 5{,}64\cos 36{,}8^\circ = 170{,}6 + 31{,}8 + 118{,}0 = 320{,}4$ , $V = 17{,}90$ km/s.
Czy po tym przelocie sonda ucieknie z Układu Słonecznego? Co trzeba by zmienić?

Odpowiedź
Ucieczka w odległości 5,2 AU wymaga $\sqrt2\cdot 13{,}06 = 18{,}47$ km/s: zabrakło 0,57 km/s. Wystarczy szybszy przylot (większe $v_\infty$ , np. $v_\infty = 8$ km/s przy nadlocie prawie od tyłu daje ok. 19–20 km/s), lepszy kierunek nadlotu albo mały impuls silnika w perycentrum (część 5).

4 Hamowanie i zmiana płaszczyzny

Asysta nie musi przyspieszać. Przelot przed planetą (względem jej ruchu) zmniejsza energię heliocentryczną: tak hamują sondy lecące ku Słońcu. Sonda MESSENGER, zanim weszła na orbitę Merkurego, przeleciała raz obok Ziemi, dwa razy obok Wenus i trzy razy obok Merkurego; sonda Parker Solar Probe zbliża się do Słońca dzięki serii przelotów obok Wenus.

Asysta może też obrócić płaszczyznę orbity: wektor $\Delta\mathbf v$ nie musi leżeć w płaszczyźnie ekliptyki. Sonda Ulysses przeleciała w 1992 roku obok Jowisza tak, że wyszła na orbitę wokół Słońca nachyloną o ok. $80^\circ$ i przeleciała nad biegunami Słońca. Bezpośrednio z Ziemi kosztowałoby to ponad 30 km/s.

Zadania · część 4

3 zadania · ok. 25 min

Sonda ma zmniejszyć swoją prędkość względem Słońca przelotem obok Wenus. Po której stronie planety (przed nią czy za nią w kierunku jej ruchu) powinna przelecieć?

Odpowiedź
Przed planetą: wtedy $\Delta\mathbf v$ jest skierowane przeciwnie do ruchu planety i $\mathbf V_p\cdot\Delta\mathbf v < 0$ , więc energia heliocentryczna maleje.
Ile kosztowałoby bezpośrednie nadanie sondzie nachylenia $80^\circ$ względem ekliptyki, przy prędkości heliocentrycznej Ziemi 29,8 km/s? Porównaj z dostępnym $|\Delta\mathbf v|$ przy Jowiszu.

Odpowiedź
Zmiana płaszczyzny przy 29,8 km/s o $80^\circ$ : $2\cdot 29{,}8\sin 40^\circ = 38$ km/s, niemożliwe dla rakiety. Przy Jowiszu prędkość heliocentryczna sondy jest mała (ok. 7–10 km/s), a obrót $\mathbf v_\infty$ daje $|\Delta\mathbf v|$ ponad 10 km/s, prawie prostopadle do ekliptyki. Dlatego Ulysses poleciał najpierw do Jowisza.
Dlaczego MESSENGER potrzebował aż sześciu przelotów, a nie jednego bliskiego przelotu obok Wenus?

Odpowiedź
Jeden przelot daje najwyżej $\sqrt{\mu/r_p}$ , przy Wenus ok. 7 km/s, i tylko jeśli $v_\infty$ jest akurat równe 7 km/s. Bezpośredni lot na Merkurego zostawia przy nim $v_\infty \approx 9{,}6$ km/s, a wejście na orbitę wymaga zbicia jej prawie do zera. Każdy przelot zmniejsza $v_\infty$ względem następnego celu o część; przeloty obok samego Merkurego zmniejszają $v_\infty$ względem Merkurego, aż hamowanie silnikiem staje się wykonalne.

5 Przelot z napędem

Najlepsze miejsce na impuls silnika to perycentrum przelotu: tam prędkość względem planety jest największa, więc ten sam impuls daje najwięcej energii (efekt Obertha, lekcja 5 Manewry orbitalne: transfer Hohmanna i zmiana płaszczyzny orbity). Przy Jowiszu z $v_\infty = 5{,}64$ km/s i perycentrum $1{,}1R_J$ prędkość w perycentrum wynosi ok. 57 km/s. Impuls 0,5 km/s zwiększa $v_\infty$ do 9,44 km/s:

v_\infty^+ = \sqrt{(v_p + \Delta v)^2 - \frac{2\mu}{r_p}},\qquad v_p = \sqrt{v_\infty^2 + \frac{2\mu}{r_p}} .

To prawie 4 km/s nadmiaru za pół kilometra na sekundę paliwa. W praktyce perycentrum tak blisko Jowisza oznacza ogromne dawki promieniowania, więc sondy przelatują dalej.

Zadania · część 5

2 zadania · ok. 20 min

Policz $v_\infty^+$ dla impulsu 0,5 km/s w perycentrum $1{,}1R_J$ przy $v_\infty^- = 5{,}64$ km/s.

Odpowiedź
$2\mu/r_p = 2\cdot 1{,}267\cdot10^8/78\,641 = 3222$ km²/s²; $v_p = \sqrt{31{,}8 + 3222} = 57{,}04$ km/s; $v_\infty^+ = \sqrt{57{,}54^2 - 3222} = \sqrt{89{,}1} = 9{,}44$ km/s.
Ten sam impuls 0,5 km/s daleko od Jowisza zwiększyłby $v_\infty$ o 0,5 km/s. Skąd różnica 3,3 km/s?

Odpowiedź
Energia rośnie o $v\Delta v + \Delta v^2/2$ : w perycentrum o $57\cdot 0{,}5 = 28{,}6$ km²/s², daleko o $5{,}64\cdot 0{,}5 = 2{,}8$ km²/s². Nadmiar energii $v_\infty^2/2$ rośnie z 15,9 do 44,6 km²/s². Paliwo spalone w perycentrum ma ogromną energię kinetyczną względem planety; sonda ją przejmuje.

6 Metoda i przykłady rozwiązane

Metoda: projekt przelotu

Prędkości przed: $\mathbf v_\infty^- = \mathbf V^- - \mathbf V_p$ .
Potrzebny obrót: kąt między $\mathbf v_\infty^-$ a wymaganym $\mathbf v_\infty^+$ (tej samej długości!).
Perycentrum: z $\sin(\delta/2) = 1/e$ i $e = 1 + r_pv_\infty^2/\mu$ ; sprawdzić, czy $r_p$ jest nad atmosferą i poza strefą promieniowania.
Prędkość po: $\mathbf V^+ = \mathbf V_p + \mathbf v_\infty^+$ ; energia, nowa orbita heliocentryczna.
Jeśli długości $v_\infty$ się nie zgadzają: przelot z napędem albo inny cel.

Przykład 6.1 Jakie perycentrum dla zadanego obrotu?

Przy Jowiszu $v_\infty = 5{,}64$ km/s trzeba obrócić o $100^\circ$ . Jakie perycentrum?

$e = 1/\sin 50^\circ = 1{,}305$ .
$r_p = (e - 1)\mu/v_\infty^2 = 0{,}305\cdot 1{,}267\cdot10^8/31{,}81 = 1{,}22\cdot10^6$ km $= 17\,R_J$ .

Wynik: perycentrum ok. 1,2 mln km, poza najsilniejszymi pasami promieniowania.

Sprawdzenie: w symulacji przy $17R_J$ kąt obrotu to ok. $100^\circ$ ✓.

Przykład 6.2 Ziemia jako proca

Sonda wraca w okolice Ziemi z $v_\infty = 5$ km/s i ma zwiększyć energię. Ile może zyskać, przelatując 300 km nad Ziemią?

$\delta = 89{,}6^\circ$ , $|\Delta\mathbf v| = 7{,}05$ km/s.
Jeśli $\mathbf v_\infty^-$ jest prostopadłe do ruchu Ziemi i obrót kieruje $\mathbf v_\infty^+$ wzdłuż ruchu Ziemi, $\mathbf V_p\cdot\Delta\mathbf v = 29{,}8\cdot 5 = 149$ km²/s².
Prędkość względem Słońca rośnie z $\sqrt{29{,}8^2 + 5^2} = 30{,}2$ do $34{,}8$ km/s.

Wynik: ok. 4,6 km/s przyrostu prędkości heliocentrycznej za darmo.

Sprawdzenie: $(34{,}8^2 - 30{,}2^2)/2 = 149$ km²/s² ✓. Takie przeloty obok Ziemi miały m.in. sondy Galileo i Rosetta.

Przykład 6.3 Mars jako słaba proca

Ile najwięcej może dać przelot obok Marsa?

$|\Delta\mathbf v|_{\max} = \sqrt{\mu/R} = \sqrt{42\,828/3396} = 3{,}55$ km/s, i to przy przelocie tuż nad powierzchnią i $v_\infty = 3{,}55$ km/s.
Z bezpiecznym perycentrum 300 km nad powierzchnią i $v_\infty = 5$ km/s: $e = 1 + 3696\cdot 25/42\,828 = 3{,}16$ , $|\Delta\mathbf v| = 3{,}17$ km/s.

Wynik: 3–3,5 km/s, czyli ok. dwa razy mniej niż przy Ziemi czy Wenus w podobnych warunkach.

Sprawdzenie: zależy od $\sqrt{\mu/R}$ , a Mars ma małą masę ✓. Przeloty obok Marsa stosuje się rzadko (np. Dawn w drodze do Westy).

7 Błędne intuicje, których trzeba się oduczyć

„Sonda przyspiesza, bo spada na planetę.”: Spadając, przyspiesza, a odlatując, zwalnia o dokładnie tyle samo. Zysk bierze się z ruchu planety względem Słońca, nie z jej przyciągania samego w sobie.
„Asysta zawsze przyspiesza.”: Może przyspieszać, hamować albo tylko obracać kierunek; decyduje strona przelotu i geometria.
„Im bliżej planety, tym więcej.”: Bliżej to większy obrót, ale $|\Delta\mathbf v|$ ma maksimum przy $v_\infty^2 = \mu/r_p$ ; przy zadanym $v_\infty$ zysk rośnie z bliskością, ale ograniczają go atmosfera i promieniowanie.
„Asysta to darmowa energia.”: Energię oddaje planeta. Darmowa jest dla sondy, ale wymaga ustawienia planet, które zdarza się rzadko.
„Na Merkurego leci się najprościej, bo jest blisko Słońca.”: Spadek ku Słońcu daje ogromną nadwyżkę prędkości, którą trzeba wytracić: Merkury wymaga wielu przelotów.

8 Zadania do przemyślenia

Te zadania wymagają więcej myślenia niż liczenia.

Zadania do przemyślenia

5 zadań · ok. 1,5 godziny

Kryterium Tisseranda. W zagadnieniu trzech ciał (Słońce, planeta, sonda) przelot nie zmienia pewnej kombinacji elementów orbity sondy. Wyjaśnij, dlaczego $v_\infty$ względem planety jest tą „niezmienną”, i co z tego wynika dla planowania serii przelotów.
Rozwiązanie
1. Przelot zmienia kierunek, ale nie długość $\mathbf v_\infty$ . Wszystkie orbity heliocentryczne osiągalne jednym przelotem mają końce wektora $\mathbf V$ na sferze o promieniu $v_\infty$ wokół $\mathbf V_p$ . Parametr Tisseranda $T = a_p/a + 2\sqrt{(a/a_p)(1 - e^2)}\cos i$ jest (w przybliżeniu) funkcją tylko $v_\infty$ : $T \approx 3 - v_\infty^2/V_p^2$ .
2. Wniosek: żeby zmienić $v_\infty$ względem planety, potrzeba innej planety albo silnika. Seria przelotów obok Wenus i Ziemi „przesuwa” sondę między poziomicami Tisseranda różnych planet; tak planuje się trasy w rodzaju VEEGA (Wenus–Ziemia–Ziemia) sondy Galileo.
Odbicie od ciężarówki. Piłka leci z prędkością 10 m/s naprzeciw ciężarówki jadącej 20 m/s i odbija się sprężyście. Z jaką prędkością odlatuje względem drogi? Jakie są analogie i różnice z asystą?
Rozwiązanie
1. Względem ciężarówki piłka nadlatuje z 30 m/s i odbija się z 30 m/s; względem drogi $30 + 20 = 50$ m/s. To asysta z obrotem $180^\circ$ .
2. Różnica: grawitacja nie odbija o $180^\circ$ (to wymagałoby $e = 1$ , czyli przelotu przez środek planety); obrót jest mniejszy, a energia zależy od kąta. Podobieństwo: w układzie „przeszkody” energia piłki jest stała, zysk pochodzi z ruchu przeszkody.
Anomalia przelotu. Przy kilku przelotach obok Ziemi (np. Galileo, NEAR) zmierzono $v_\infty^+$ różne od $v_\infty^-$ o kilka do kilkunastu mm/s, czego model nie przewidywał. Jakie zjawiska mogłyby dać taki efekt i jak go zbadać?
Rozwiązanie
1. Kandydaci: niedokładny model pola grawitacyjnego Ziemi (harmoniczne), opór, ciśnienie promieniowania, ciepło sondy, błędy modelu śledzenia (np. efekty relatywistyczne, refrakcja). Zjawisko jest małe w porównaniu z typowymi niepewnościami i dotąd nie ma pewnego wyjaśnienia.
2. Badanie: porównanie wielu przelotów o różnej geometrii (np. zależność od szerokości geograficznej nadlotu i wylotu), niezależne śledzenie (różne stacje, różne pasma), sondy z bardzo dobrze znanym modelem sił.
Dlaczego nie od Słońca? Słońce jest najmasywniejsze. Czy sonda może zyskać prędkość przelotem obok Słońca?
Rozwiązanie
1. W układzie heliocentrycznym Słońce jest (prawie) nieruchome: przelot nie zmienia energii sondy względem Słońca, tylko kierunek. Asysta wymaga ruchu ciała względem układu, w którym liczymy energię.
2. Względem Galaktyki Słońce się porusza, więc przelot zmieniłby prędkość względem Galaktyki, ale to nie pomaga w lotach w Układzie Słonecznym. Pomaga natomiast przelot z napędem blisko Słońca (Oberth): duża prędkość w peryhelium.
Precyzja. Przy Jowiszu $\partial\delta/\partial r_p$ dla $r_p = 3R_J$ , $v_\infty = 5{,}64$ km/s. Jak dokładnie trzeba trafić perycentrum, żeby błąd kierunku po przelocie był mniejszy niż $0{,}1^\circ$ ?
Rozwiązanie
1. $\delta = 2\arcsin(1/e)$ , $e = 1 + r_pv^2/\mu$ : $\frac{d\delta}{dr_p} = -\frac{2}{e\sqrt{e^2 - 1}}\cdot\frac{v^2}{\mu}$ . Dla $e = 1{,}054$ : $-\frac{2}{1{,}054\cdot 0{,}333}\cdot 2{,}51\cdot10^{-7}$ = $-1{,}43\cdot10^{-6}$ rad/km.
2. $0{,}1^\circ = 1{,}75\cdot10^{-3}$ rad wymaga dokładności ok. 1200 km w perycentrum: łatwe przy Jowiszu. Przy bliskich przelotach obok małych ciał i dużym $e$ wymagania są dużo ostrzejsze; korekty toru robi się kilka razy w drodze.

9 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Co się zmienia, a co nie, w układzie planety?

Długość $v_\infty$ stała, kierunek obrócony o $\delta$ .

2 Wzór na kąt obrotu?

$\sin(\delta/2) = 1/e$ , $e = 1 + r_pv_\infty^2/\mu$ .

3 Skąd sonda bierze energię?

Od planety, która porusza się względem Słońca: $\Delta(V^2/2) = \mathbf V_p\cdot\Delta\mathbf v$ .

4 Ile najwięcej może dać przelot?

$|\Delta\mathbf v|_{\max} = \sqrt{\mu/r_p}$ : Jowisz ok. 42, Ziemia ok. 8, Mars ok. 3,5 km/s.

5 Jak przelotem zahamować?

Przelecieć przed planetą (względem jej ruchu), żeby $\Delta\mathbf v$ było przeciwne do $\mathbf V_p$ .

6 Po co silnik w perycentrum przelotu?

Efekt Obertha: mały impuls przy dużej prędkości daje duży przyrost $v_\infty$ .

10 Karta wzorów i co dalej

Przelot

$e = 1 + r_pv_\infty^2/\mu$ , $\sin(\delta/2) = 1/e$

$|\Delta\mathbf v| = 2v_\infty\sin(\delta/2) = 2v_\infty/e$

$|\Delta\mathbf v|_{\max} = \sqrt{\mu/r_p}$ przy $v_\infty^2 = \mu/r_p$

$r_p = (e - 1)\mu/v_\infty^2$

Słońce i napęd

$\mathbf V = \mathbf V_p + \mathbf v_\infty$ ; $\Delta(V^2/2) = \mathbf V_p\cdot\Delta\mathbf v$

za planetą: przyspieszenie; przed planetą: hamowanie

z napędem: $v_\infty^+ = \sqrt{(v_p + \Delta v)^2 - 2\mu/r_p}$

ucieczka z Układu Słonecznego: $\sqrt2\,V_p$ (Jowisz: 18,5 km/s)

Do przeczytania

Obowiązkowo: H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, rozdz. 8 (przeloty obok planet); C. A. Kluever, Space Flight Dynamics, rozdz. o trajektoriach międzyplanetarnych.
Dla chętnych: materiały JPL o misjach Voyager, Galileo (trajektoria VEEGA), MESSENGER i Cassini (VVEJGA): rzeczywiste sekwencje przelotów i ich uzasadnienie.

Do tej pory zakładaliśmy kołowe orbity planet i transfery Hohmanna. Prawdziwy projekt misji zaczyna się od konkretnych dat: start 20 lipca, przylot 18 lutego. Jaka orbita łączy dwa punkty w zadanym czasie? To problem Lamberta, a jego rozwiązania dla wszystkich par dat składają się w wykres „porkchop”, od którego zaczyna się planowanie każdej misji planetarnej.