Matematyka i fizyka od podstaw
PLEN

Astronautyka › III. Podróże międzyplanetarne › 7 szkic · PDF do druku

Zanim zaczniesz 5 Manewry orbitalne: transfer Hohmanna i zmiana płaszczyzny orbity

Nowe pojęcia w tej lekcji (3)

metoda sklejanych krzywych stożkowychprędkość nadmiarowa v∞sfera wpływu

Astronautyka 7

Sfery wpływu i podróż międzyplanetarna

Sonda lecąca na Marsa jest przyciągana jednocześnie przez Ziemię, Słońce i Marsa. Dokładny ruch w polu trzech ciał nie ma rozwiązania w postaci wzorów, ale prawie zawsze jedno ciało przeważa. Metoda sklejanych stożkowych dzieli lot na trzy odcinki, każdy z jednym ciałem centralnym, i skleja je na granicach sfer wpływu. Tak liczy się okna startowe, budżety Δv\Delta v i czasy lotu wszystkich misji planetarnych, zanim przyjdzie czas na dokładne całkowanie.

Czas
ok. 2 h teorii + ok. 2 h zadań
Zadania
14 zadań w treści + 5 do przemyślenia, z odpowiedziami
Źródła
H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, rozdz. 8; C. A. Kluever, Space Flight Dynamics, rozdz. o trajektoriach międzyplanetarnych; U. Walter, Astronautics, rozdz. o lotach międzyplanetarnych

0 Prolog: Mariner 4 i pierwsze zdjęcia Marsa

W listopadzie 1964 roku z przylądka Canaveral (nazywanego wtedy Przylądkiem Kennedy’ego) wystartował Mariner 4. Po prawie ośmiu miesiącach lotu, w lipcu 1965 roku, minął Marsa w odległości ok. 10 000 km i przesłał na Ziemię 21 zdjęć. Pokazywały kratery i martwą powierzchnię, a pomiar przejścia sygnału radiowego przez atmosferę wykazał, że jest ona bardzo rzadka. Skończyły się marzenia o kanałach.

Start nie mógł się odbyć w dowolnym momencie. Mars i Ziemia muszą stać w odpowiednim ustawieniu, które powtarza się co ok. 26 miesięcy. Ta lekcja liczy, skąd biorą się te liczby: 26 miesięcy, 8 miesięcy lotu i ok. 3,6 km/s z niskiej orbity okołoziemskiej.

Pytanie na start. Ucieczka z orbity 300 km kosztuje 3,20 km/s, a sonda ma opuścić pole Ziemi z prędkością 2,95 km/s. Czy potrzeba 3,20+2,95=6,153{,}20 + 2{,}95 = 6{,}15 km/s? Odpowiedź w części 3.

1 Sfera wpływu

W pobliżu Ziemi sondę przyciąga głównie Ziemia, daleko głównie Słońce. Gdzie przebiega granica? Laplace zaproponował kryterium: liczymy ruch sondy względem Ziemi z Słońcem jako zaburzeniem i względem Słońca z Ziemią jako zaburzeniem. Granica leży tam, gdzie stosunek zaburzenia do przyspieszenia głównego jest w obu opisach taki sam. Wynik:

Promień sfery wpływu

rSOI=a(mM)2/5,r_\text{SOI} = a\left(\frac{m}{M}\right)^{2/5},

aa odległość planety od Słońca (lub księżyca od planety), m/Mm/M stosunek mas. Ziemia: 925 000 km (145 promieni Ziemi); Księżyc względem Ziemi: 66 000 km; Mars: 577 000 km; Jowisz: 48 mln km.

Sfera wpływu Ziemi jest olbrzymia w porównaniu z Ziemią, ale mała w porównaniu z odległością do Słońca: 0,6% jednostki astronomicznej. To dlatego metoda sklejanych stożkowych działa: w skali Układu Słonecznego sonda wychodzi z „punktu”, a w skali Ziemi pole Słońca jest drobnym zaburzeniem. Granica nie jest fizyczną powierzchnią, tylko wygodnym miejscem na zmianę opisu; wykładnik 2/52/5 wynika z porównania przyspieszeń pływowych.

Zadania · część 1

3 zadania · ok. 20 min

  1. Policz promień sfery wpływu Ziemi. Masa Ziemi to 3,00⋅10−63{,}00\cdot10^{-6} masy Słońca (z μ⊕/μ⊙\mu_\oplus/\mu_\odot), a=1,496⋅108a = 1{,}496\cdot10^8 km.

    Odpowiedź

    (3,00⋅10−6)0,4=6,18⋅10−3(3{,}00\cdot10^{-6})^{0{,}4} = 6{,}18\cdot10^{-3}, rSOI=9,25⋅105r_\text{SOI} = 9{,}25\cdot10^5 km: ok. 2,4 odległości do Księżyca.

  2. Sfera wpływu Księżyca ma promień 66 000 km, a Księżyc jest 384 400 km od Ziemi. Opisz trajektorię lotu na Księżyc w języku sklejanych stożkowych.

    Odpowiedź

    Najpierw elipsa wokół Ziemi z apogeum w okolicy orbity Księżyca. Po wejściu w sferę wpływu Księżyca (ok. 320 000 km od Ziemi) statek ma względem Księżyca prędkość nadmiarową i porusza się po hiperboli wokół niego; bez hamowania minie go i wyjdzie z jego sfery. Dla Księżyca przybliżenie jest gorsze niż dla planet, bo jego sfera nie jest mała względem odległości Ziemia–Księżyc.

  3. Dlaczego sfera wpływu Jowisza (48 mln km) jest prawie 50 razy większa od ziemskiej, mimo że Jowisz jest tylko 5 razy dalej od Słońca?

    Odpowiedź

    Jowisz jest 318 razy masywniejszy od Ziemi: 3180,4=10,0318^{0{,}4} = 10{,}0; do tego czynnik odległości 5,2. Razem ok. 52 razy.

2 Metoda sklejanych stożkowych

Lot z Ziemi na Marsa dzielimy na trzy odcinki, w każdym zagadnienie dwóch ciał z lekcji 1:

Sklejane stożkowe

1. Wylot: hiperbola względem Ziemi, od orbity parkingowej do granicy sfery wpływu; na granicy prędkość względem Ziemi to v∞\mathbf v_\infty.

2. Lot heliocentryczny: elipsa wokół Słońca z prędkością początkową v⊕+v∞\mathbf v_\oplus + \mathbf v_\infty (sfera wpływu traktowana jak punkt w miejscu Ziemi).

3. Przylot: hiperbola względem Marsa z prędkością nadmiarową v∞M=vsondy−vMars\mathbf v_\infty^{M} = \mathbf v_\text{sondy} - \mathbf v_\text{Mars}.

Dla orbit kołowych w jednej płaszczyźnie najtańszy odcinek heliocentryczny to elipsa Hohmanna (lekcja 5 Manewry orbitalne: transfer Hohmanna i zmiana płaszczyzny orbity) z peryhelium przy Ziemi i aphelium przy Marsie. Ziemia ma prędkość 29,78 km/s; sonda w peryhelium elipsy o a=1,262a = 1{,}262 AU ma 32,73 km/s, więc v∞=2,95v_\infty = 2{,}95 km/s w kierunku ruchu Ziemi. Przy Marsie sonda ma w aphelium 21,48 km/s, Mars 24,13 km/s: sonda przylatuje wolniej, a Mars „dogania” ją z v∞=2,65v_\infty = 2{,}65 km/s. Lot trwa pół okresu elipsy: 259 dni.

Symulacja 1 Transfer Hohmanna z Ziemi do innych planet (orbity kołowe w jednej płaszczyźnie). Puste kółka: położenia Ziemi i celu w chwili startu, pełne: w wybranej chwili lotu. Zwróć uwagę na kąt fazowy: gdzie musi być cel w chwili startu.

Zadania · część 2

3 zadania · ok. 25 min

  1. Policz v∞v_\infty przy Ziemi dla transferu Hohmanna na Marsa (aM=1,524a_M = 1{,}524 AU, μ⊙=1,327⋅1011\mu_\odot = 1{,}327\cdot10^{11} km³/s²).

    Odpowiedź

    v⊕=μ⊙/1 AU=29,78v_\oplus = \sqrt{\mu_\odot/1\,\text{AU}} = 29{,}78 km/s, at=1,262a_t = 1{,}262 AU, vp=μ⊙(2/r1−1/at)=32,73v_p = \sqrt{\mu_\odot(2/r_1 - 1/a_t)} = 32{,}73 km/s; v∞=2,95v_\infty = 2{,}95 km/s.

  2. Ile trwa lot Hohmanna na Marsa i na Wenus (aW=0,723a_W = 0{,}723 AU)?

    Odpowiedź

    Mars: at=1,262a_t = 1{,}262 AU, pół okresu =12⋅1,2621,5= \frac12\cdot 1{,}262^{1{,}5} roku =0,709= 0{,}709 roku =259= 259 dni. Wenus: at=0,862a_t = 0{,}862 AU, 12⋅0,8621,5=0,40\frac12\cdot 0{,}862^{1{,}5} = 0{,}40 roku =146= 146 dni.

  3. Dlaczego lot na Wenus wymaga hamowania względem Ziemi, a mimo to v∞v_\infty jest dodatnie (2,50 km/s)?

    Odpowiedź

    Sonda ma w aphelium elipsy przejściowej 27,29 km/s, mniej niż Ziemia (29,78 km/s): względem Ziemi leci do tyłu z prędkością 2,50 km/s. v∞v_\infty to długość wektora; jego kierunek jest przeciwny do ruchu Ziemi. Hiperbola wylotu jest więc obrócona: perygeum po stronie przeciwnej niż przy locie na Marsa.

3 Wylot z Ziemi

Sonda zaczyna na orbicie parkingowej o promieniu rpr_p. W perygeum hiperboli wylotu prędkość wynika z energii: vp2=v∞2+2μ/rpv_p^2 = v_\infty^2 + 2\mu/r_p. Koszt wylotu:

Δv=v∞2+2μrp−μrp.\Delta v = \sqrt{v_\infty^2 + \frac{2\mu}{r_p}} - \sqrt{\frac{\mu}{r_p}} .

Odpowiedź na pytanie z prologu: nie. Dla orbity 300 km i v∞=2,95v_\infty = 2{,}95 km/s: 8,67+119,38−7,73=3,59\sqrt{8{,}67 + 119{,}38} - 7{,}73 = 3{,}59 km/s, a nie 6,15. Prędkości nie dodają się, bo dodają się energie (efekt Obertha z lekcji 5): impuls w głębi studni potencjału daje dużo więcej energii niż ten sam impuls daleko od Ziemi. Hiperbola ma mimośród e=1+rpv∞2/μ=1,145e = 1 + r_pv_\infty^2/\mu = 1{,}145, a jej asymptota wyjściowa jest 150,8∘150{,}8^\circ od perygeum; silnik zapala się więc ok. 151∘151^\circ (licząc wzdłuż orbity) przed kierunkiem, w którym sonda ma odlecieć.

Symulacja 2 Hiperbola wylotu z orbity parkingowej (Ziemia w skali). Asymptota wskazuje kierunek v∞\mathbf v_\infty, czyli kierunek ruchu Ziemi wokół Słońca przy locie na planetę zewnętrzną. Zmień v∞v_\infty i porównaj koszt z naiwnym „ucieczka + v∞v_\infty”.

Zadania · część 3

3 zadania · ok. 25 min

  1. Policz Δv\Delta v wylotu na Marsa z orbity 300 km i C3C_3.

    Odpowiedź

    C3=v∞2=8,67C_3 = v_\infty^2 = 8{,}67 km²/s². Δv=8,67+2⋅398 600/6678−7,726=11,316−7,726=3,59\Delta v = \sqrt{8{,}67 + 2\cdot 398\,600/6678} - 7{,}726 = 11{,}316 - 7{,}726 = 3{,}59 km/s.

  2. Policz mimośród hiperboli wylotu i kąt ν∞\nu_\infty jej asymptoty od perygeum.

    Odpowiedź

    e=1+6678⋅8,67/398 600=1,145e = 1 + 6678\cdot 8{,}67/398\,600 = 1{,}145; ν∞=arccos⁡(−1/e)=150,8∘\nu_\infty = \arccos(-1/e) = 150{,}8^\circ.

  3. Ile kosztowałby wylot na Marsa z orbity geostacjonarnej (bez kosztu dolotu na nią)? Dlaczego z niskiej orbity jest taniej?

    Odpowiedź

    r=42 164r = 42\,164 km: 8,67+18,91−3,075=2,18\sqrt{8{,}67 + 18{,}91} - 3{,}075 = 2{,}18 km/s, mniej niż 3,59 km/s, ale dolot na GEO kosztuje 3,9 km/s. Z niskiej orbity: 3,59 km/s łącznie, bo cały impuls jest w głębi studni potencjału, gdzie prędkość jest największa (efekt Obertha).

4 Okna startowe i czas misji

Sonda ma spotkać Marsa po 259 dniach, po drugiej stronie Słońca (180∘180^\circ od miejsca startu). Mars pokonuje w tym czasie nM⋅259n_M\cdot 259 d =135,7∘= 135{,}7^\circ, więc w chwili startu musi być 180∘−135,7∘=44,3∘180^\circ - 135{,}7^\circ = 44{,}3^\circ przed Ziemią. Takie ustawienie powtarza się co okres synodyczny:

Tsyn=2π∣n1−n2∣,Ziemia–Mars: 780 dni (2,14 roku),Ziemia–Wenus: 584 dni.T_\text{syn} = \frac{2\pi}{|n_1 - n_2|},\qquad \text{Ziemia–Mars: } 780 \text{ dni (2,14 roku)}, \qquad \text{Ziemia–Wenus: } 584 \text{ dni} .

Misja z powrotem musi czekać na planecie na okno powrotne. Po przylocie (Hohmann) Ziemia jest 75∘75^\circ przed Marsem, a do startu powrotnego musi być 75∘75^\circ za nim. Ziemia dogania Marsa o 0,46∘0{,}46^\circ na dobę, więc czekanie trwa 454 dni, a cała misja 259+454+259=972259 + 454 + 259 = 972 dni, ok. 2,7 roku. Tak wygląda podstawowy scenariusz załogowej misji marsjańskiej.

Prawdziwe orbity planet są eliptyczne i lekko nachylone (Mars: e=0,093e = 0{,}093, i=1,85∘i = 1{,}85^\circ), więc okna różnią się między sobą: wymagane C3C_3 zmienia się od ok. 8 do ok. 16 km²/s². Dokładne okna liczy się z położeń planet i problemu Lamberta (lekcja 9 Problem Lamberta i wykres porkchop).

Zadania · część 4

3 zadania · ok. 25 min

  1. Policz okres synodyczny Ziemia–Mars (okres Marsa 687 dni).

    Odpowiedź

    1/Tsyn=1/365,26−1/687=1,282⋅10−31/T_\text{syn} = 1/365{,}26 - 1/687 = 1{,}282\cdot10^{-3} /d, Tsyn=780T_\text{syn} = 780 dni.

  2. Jaki kąt fazowy jest potrzebny przy starcie na Wenus? Gdzie jest Wenus w chwili startu?

    Odpowiedź

    Wenus pokonuje w 146 dni 146⋅360∘/224,7=234∘146\cdot 360^\circ/224{,}7 = 234^\circ. Ma być 180∘180^\circ od miejsca startu, więc przy starcie jest 180∘−234∘=−54∘180^\circ - 234^\circ = -54^\circ: 54∘54^\circ za Ziemią.

  3. Dlaczego okno na Jowisza wypada co 399 dni, prawie co rok?

    Odpowiedź

    Jowisz porusza się wolno (okres 11,86 roku), więc Ziemia dogania go prawie co rok: 1/Tsyn=1−1/11,861/T_\text{syn} = 1 - 1/11{,}86 /rok, Tsyn=1,09T_\text{syn} = 1{,}09 roku. Im dalsza planeta, tym okres synodyczny bliższy rokowi.

5 Przylot i wejście na orbitę

Przy Marsie sonda ma v∞=2,65v_\infty = 2{,}65 km/s i porusza się po hiperboli. Odległość perycentrum wybiera się małą korektą toru daleko przed planetą. Żeby zostać na orbicie, trzeba w perycentrum zahamować:

Δvwej=v∞2+2μrp−vorb(rp).\Delta v_\text{wej} = \sqrt{v_\infty^2 + \frac{2\mu}{r_p}} - v_\text{orb}(r_p).

Wejście na orbitę kołową 300 km nad Marsem kosztuje 2,09 km/s, a na wydłużoną elipsę 300×33 000300 \times 33\,000 km tylko 0,91 km/s. Dlatego sondy najpierw wchodzą na wydłużoną orbitę, a potem obniżają apocentrum hamowaniem w atmosferze (ang. aerobraking): setki przelotów przez górne warstwy atmosfery zamiast setek kilogramów paliwa. Cały budżet z niskiej orbity okołoziemskiej na kołową orbitę 300 km wokół Marsa (Hohmann, wszystko silnikiem): 3,59+2,09=5,683{,}59 + 2{,}09 = 5{,}68 km/s.

Zadania · część 5

2 zadania · ok. 20 min

  1. Policz Δv\Delta v wejścia na orbitę kołową 300 km wokół Marsa (μM=42 828\mu_M = 42\,828 km³/s², RM=3396R_M = 3396 km).

    Odpowiedź

    rp=3696r_p = 3696 km; 2,652+2⋅42 828/3696=7,02+23,18=5,49\sqrt{2{,}65^2 + 2\cdot 42\,828/3696} = \sqrt{7{,}02 + 23{,}18} = 5{,}49 km/s; vorb=42 828/3696=3,40v_\text{orb} = \sqrt{42\,828/3696} = 3{,}40 km/s; Δv=2,09\Delta v = 2{,}09 km/s.

  2. Dlaczego przy Jowiszu wejście na niską orbitę kołową kosztowałoby prawie 17 km/s, a sondy wchodzą na orbitę za ok. 0,5–0,6 km/s?

    Odpowiedź

    Przy rp=1,1RJr_p = 1{,}1R_J prędkość w perycentrum hiperboli to ok. 57 km/s, a kołowa ok. 40 km/s. Zatrzymanie na bardzo wydłużonej orbicie (perycentrum 1,1RJ1{,}1R_J, apocentrum 100RJ100R_J, okres 44 doby) kosztuje 0,59 km/s: wystarczy zmniejszyć energię z +v∞2/2+v_\infty^2/2 do lekko ujemnej, a efekt Obertha przy ogromnej prędkości w perycentrum robi resztę.

6 Metoda i przykłady rozwiązane

Metoda: wstępny projekt misji planetarnej

  1. Odcinek heliocentryczny: elipsa (Hohmann albo z problemu Lamberta); v∞\mathbf v_\infty na obu końcach.
  2. Wylot: Δv=v∞2+2μ/rp−μ/rp\Delta v = \sqrt{v_\infty^2 + 2\mu/r_p} - \sqrt{\mu/r_p} z orbity parkingowej; kierunek asymptoty wyznacza miejsce zapłonu.
  3. Przylot: hamowanie w perycentrum, najlepiej na wydłużoną orbitę; ewentualnie hamowanie atmosferą.
  4. Terminy: kąt fazowy, okres synodyczny, czekanie na okno powrotne.
  5. Sprawdzenie: sfera wpływu dużo mniejsza od odległości planety od Słońca; potem dokładne całkowanie.

Przykład 6.1 Budżet misji na Marsa

Sonda startuje z orbity 300 km wokół Ziemi i ma wejść na orbitę kołową 300 km wokół Marsa. Policz budżet i terminy (Hohmann).

  1. Odcinek heliocentryczny: v∞=2,95v_\infty = 2{,}95 km/s (Ziemia), 2,652{,}65 km/s (Mars), 259 dni.
  2. Wylot 3,59 km/s, wejście na orbitę 2,09 km/s: razem 5,68 km/s.
  3. Start, gdy Mars jest 44∘44^\circ przed Ziemią; okna co 780 dni.

Wynik: 5,68 km/s, 259 dni; z hamowaniem atmosferycznym 3,59 + 0,91 km/s.

Sprawdzenie: naiwne dodawanie prędkości dałoby 6,15 km/s tylko na wylot; różnica to efekt Obertha ✓.

Przykład 6.2 Lot na Wenus

Policz podstawowe liczby lotu Hohmanna na Wenus i wejścia na orbitę 300 km.

  1. v∞v_\infty: 2,50 km/s (Ziemia, do tyłu względem ruchu Ziemi), 2,71 km/s (Wenus); 146 dni; Wenus 54∘54^\circ za Ziemią przy starcie; okna co 584 dni.
  2. Wylot z 300 km: 3,48 km/s.
  3. Wejście na orbitę kołową 300 km nad Wenus (μ=324 859\mu = 324\,859 km³/s²): 3,32 km/s.

Wynik: ok. 6,8 km/s; Wenus jest prawie tak „blisko” jak Mars na wylocie, ale droższa na przylocie (większa masa planety).

Sprawdzenie: większe μ\mu zwiększa i prędkość w perycentrum hiperboli, i prędkość kołową; ich różnica rośnie ✓.

Przykład 6.3 Bezpośrednio na Jowisza

Ile kosztuje bezpośredni lot Hohmanna na Jowisza i ile trwa?

  1. v∞=8,79v_\infty = 8{,}79 km/s przy Ziemi, C3=77C_3 = 77 km²/s²; wylot z 300 km: 6,30 km/s.
  2. Czas 2,73 roku; przy Jowiszu v∞=5,64v_\infty = 5{,}64 km/s.
  3. Wejście na orbitę 1,1×100 RJ1{,}1 \times 100\,R_J: 0,59 km/s.

Wynik: ok. 6,9 km/s i prawie 3 lata. Takie C3C_3 (i większe) osiągały lekkie sondy lecące bezpośrednio: Pioneery 10 i 11, Voyagery, New Horizons. Ciężkie sondy (Galileo, Cassini, Juno) przy takim C3C_3 nie zmieściłyby się w możliwościach rakiet, dlatego leciały przez asysty grawitacyjne (lekcja 8 Asysta grawitacyjna).

Sprawdzenie: v∞v_\infty przy Ziemi rośnie z odległością celu (Mars 2,9, Jowisz 8,8, Saturn 10,3 km/s), a granica 2−1\sqrt2 - 1 prędkości Ziemi, ok. 12,3 km/s, to ucieczka z Układu Słonecznego ✓.

7 Błędne intuicje, których trzeba się oduczyć

„Na Marsa leci się, gdy jest najbliżej.”
Startuje się, gdy Mars jest 44∘44^\circ przed Ziemią, a dolatuje po drugiej stronie Słońca. Największe zbliżenie (opozycja) wypada w trakcie lotu.
„Do ucieczki i do v∞v_\infty potrzeba sumy prędkości.”
Dodają się energie, nie prędkości: Δv=v∞2+vu2−vk\Delta v = \sqrt{v_\infty^2 + v_u^2} - v_k.
„Sfera wpływu to fizyczna granica.”
To umowne miejsce zmiany opisu; obie siły działają wszędzie, zmienia się tylko, która jest przeważająca.
„Lot na Wenus jest łatwy, bo jest bliżej Słońca.”
Trzeba stracić prędkość względem Słońca; do Merkurego trzeba jej stracić tyle, że przylot jest droższy niż lot na Jowisza.
„Misja na Marsa i z powrotem trwa dwa razy po 8 miesięcy.”
Plus ok. 15 miesięcy czekania na okno powrotne: razem ok. 2,7 roku.

8 Zadania do przemyślenia

Te zadania wymagają więcej myślenia niż liczenia.

Zadania do przemyślenia

5 zadań · ok. 1,5 godziny

  1. Skąd wykładnik 2/5? Naszkicuj, dlaczego kryterium Laplace’a daje rSOI∝(m/M)2/5r_\text{SOI}\propto(m/M)^{2/5}.

    Rozwiązanie

    Względem planety: przyspieszenie główne Gm/r2Gm/r^2, zaburzenie od Słońca (pływowe) ∼GMr/a3\sim GMr/a^3, stosunek ∼(M/m)(r/a)3\sim (M/m)(r/a)^3. Względem Słońca: główne GM/a2GM/a^2, zaburzenie od planety ∼Gm/r2\sim Gm/r^2, stosunek ∼(m/M)(a/r)2\sim (m/M)(a/r)^2. Przyrównanie: (M/m)(r/a)3=(m/M)(a/r)2(M/m)(r/a)^3 = (m/M)(a/r)^2, czyli (r/a)5=(m/M)2(r/a)^5 = (m/M)^2 i r=a(m/M)2/5r = a(m/M)^{2/5}.

  2. Szybciej niż Hohmann. Załoga nie powinna lecieć 259 dni. Co się dzieje z v∞v_\infty przy szybszym transferze na Marsa?

    Rozwiązanie
    1. Szybszy transfer to elipsa z aphelium dalej niż Mars, przecinająca orbitę Marsa przed aphelium: większe v∞v_\infty na wylocie i przy Marsie (i nieprostopadły przylot).
    2. Koszt rośnie szybko: skrócenie lotu o kilka miesięcy podnosi v∞v_\infty o 1–3 km/s na obu końcach. Wymagana zmiana prędkości przy Marsie może wymusić hamowanie aerodynamiczne. Rachunek dla konkretnych dat robi się problemem Lamberta (lekcja 9).

  3. Kierunek asymptoty. Sonda na Marsa ma odlecieć w kierunku ruchu Ziemi wokół Słońca. W jakiej porze dnia (czas lokalny na orbicie parkingowej) zapala się silnik?

    Rozwiązanie
    1. Kierunek ruchu Ziemi wokół Słońca jest prostopadły do kierunku do Słońca i wskazuje stronę porannego terminatora (ok. 6:00 lokalnego czasu słonecznego; dlatego nad ranem widać więcej meteorów). Tam ma wskazywać asymptota wylotu.
    2. Perygeum hiperboli leży 151∘151^\circ wcześniej wzdłuż orbity, czyli ok. 10 h lokalnego czasu wcześniej: ok. 20:00, po nocnej stronie Ziemi. Dlatego zapłony w kierunku Marsa wypadają nad nocną półkulą.

  4. Księżyc a sklejane stożkowe. Dlaczego przybliżenie sklejanych stożkowych jest dla lotu na Księżyc wyraźnie gorsze niż dla Marsa?

    Rozwiązanie
    1. Stosunek promienia sfery wpływu do odległości: Mars–Słońce 0,25%, Księżyc–Ziemia 17%. Statek spędza długi czas w obszarze, gdzie obie siły są porównywalne.
    2. Do tego masa Księżyca to 1/81 Ziemi (Mars to 3⋅10−73\cdot10^{-7} Słońca): zaburzenia są duże. Trajektorie księżycowe (np. powrót „swobodny” Apollo) liczy się od razu numerycznie w zagadnieniu trzech ciał.

  5. Wenus w drodze na Marsa. Istnieją trajektorie z Ziemi na Marsa przez przelot obok Wenus. Co mogą dać i jaką mają wadę?

    Rozwiązanie
    1. Przelot obok Wenus zmienia kierunek v∞\mathbf v_\infty względem Wenus za darmo (lekcja 8): może skrócić czekanie na okno, zmniejszyć v∞v_\infty przy przylocie albo umożliwić powrót bez długiego postoju na Marsie.
    2. Wada: trzy planety muszą stać w odpowiednim ustawieniu (rzadkie okna), lot jest dłuższy, a sonda zbliża się do Słońca (termika).

9 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Wzór na promień sfery wpływu?

rSOI=a(m/M)2/5r_\text{SOI} = a(m/M)^{2/5}; Ziemia ok. 925 000 km.

2 Jakie są trzy odcinki metody sklejanych stożkowych?

Hiperbola wylotu, elipsa heliocentryczna, hiperbola przylotu; sklejone przez v∞\mathbf v_\infty.

3 Ile kosztuje wylot na Marsa z orbity 300 km?

3,59 km/s (v∞=2,95v_\infty = 2{,}95 km/s, C3=8,7C_3 = 8{,}7 km²/s²).

4 Co to jest okres synodyczny i ile wynosi dla Marsa?

Czas powtarzania się ustawienia: 2π/∣n1−n2∣2\pi/|n_1 - n_2|; Mars 780 dni.

5 Jak tanio wejść na orbitę planety?

Hamować w perycentrum na wydłużoną orbitę, potem ewentualnie hamowanie atmosferyczne.

6 Ile trwa misja Hohmanna na Marsa i z powrotem?

259 + 454 + 259 = ok. 970 dni.

10 Karta wzorów i co dalej

Sklejane stożkowe

rSOI=a(m/M)2/5r_\text{SOI} = a(m/M)^{2/5}

v∞=vsondy−vplanety\mathbf v_\infty = \mathbf v_\text{sondy} - \mathbf v_\text{planety} (na granicy sfery)

wylot/przylot: Δv=v∞2+2μ/rp−vorb(rp)\Delta v = \sqrt{v_\infty^2 + 2\mu/r_p} - v_\text{orb}(r_p)

hiperbola: e=1+rpv∞2/μe = 1 + r_pv_\infty^2/\mu, ν∞=arccos⁡(−1/e)\nu_\infty = \arccos(-1/e)

Liczby (Hohmann, z orbity 300 km)

Mars: v∞v_\infty 2,95/2,65 km/s, 259 d, 44∘44^\circ przed, okna co 780 d, wylot 3,59 km/s

Wenus: 2,50/2,71 km/s, 146 d, 54∘54^\circ za, co 584 d, wylot 3,48 km/s

Jowisz: 8,79/5,64 km/s, 2,73 roku, co 399 d, wylot 6,30 km/s

Tsyn=2π/∣n1−n2∣T_\text{syn} = 2\pi/|n_1 - n_2|

Do przeczytania

  • Obowiązkowo: H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, rozdz. 8 (trajektorie międzyplanetarne, sfera wpływu, okres synodyczny, wylot i przylot); C. A. Kluever, Space Flight Dynamics, rozdz. o trajektoriach międzyplanetarnych.
  • Dla chętnych: R. R. Bate, D. D. Mueller, J. E. White, Fundamentals of Astrodynamics, rozdz. o trajektoriach międzyplanetarnych; materiały NASA o misjach Mariner i Mars Exploration Program.

Hiperbola przylotu ma jeszcze jedną własność: obraca wektor v∞\mathbf v_\infty. Względem planety długość v∞v_\infty się nie zmienia, ale względem Słońca prędkość sondy może wzrosnąć o kilka kilometrów na sekundę. Kolejna lekcja zamienia to w napęd: asystę grawitacyjną, dzięki której Voyagery doleciały do granic Układu Słonecznego.

Korzystają z tej lekcji 8 Asysta grawitacyjna9 Problem Lamberta i wykres porkchop