Matematyka i fizyka od podstaw
PLEN

Matura z matematyki › 12.3 Prawdopodobieństwo warunkowe, całkowite i wzór Bayesa › Trening · PDF do druku

Matura · poziom rozszerzony · trening 12.3

Trening: warunkowe, całkowite, Bayes

Zestawy krótkich przykładów do lekcji 12.3 Prawdopodobieństwo warunkowe, całkowite i wzór Bayesa: prawdopodobieństwo warunkowe w modelu klasycznym, drzewa, prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa. Na końcu zadania w stylu arkusza rozszerzonego.

Poziom A · P(A|B)

Zestawy A

1 zestaw

  1. Oblicz.

    1. dwie kostki: suma 77 pod warunkiem, że w pierwszym rzucie wypadło 33
    2. dwie kostki: suma co najmniej 1010 pod warunkiem, że w pierwszym rzucie wypadło 66
    3. dwie monety: dwa orły pod warunkiem co najmniej jednego orła
    4. liczba z {1,…,20}\{1, \ldots, 20\}: podzielna przez 44 pod warunkiem, że parzysta
    5. P(A∩B)=0,12P(A \cap B) = 0{,}12, P(B)=0,3P(B) = 0{,}3:  P(A∣B)\ P(A|B)
    Odpowiedzi

    a) 16\frac16   b) 12\frac12   c) 13\frac13   d) 12\frac12   e) 0,40{,}4

Poziom B · drzewo

Zestawy B

1 zestaw

  1. Urna: 22 kule białe i 33 czarne (w ostatnim przykładzie 33 białe i 22 czarne). Oblicz.

    1. dwie bez zwracania: obie białe
    2. dwie bez zwracania: druga czarna
    3. dwie ze zwracaniem: różne kolory
    4. trzy bez zwracania z urny 33 b, 22 c: wszystkie białe
    Odpowiedzi

    a) 25⋅14=110\frac25\cdot\frac14 = \frac{1}{10}   b) 35\frac35   c) 2⋅25⋅35=12252\cdot\frac25\cdot\frac35 = \frac{12}{25}   d) 35⋅24⋅13=110\frac35\cdot\frac24\cdot\frac13 = \frac{1}{10}

Poziom C · prawdopodobieństwo całkowite

Zestawy C

1 zestaw

  1. Oblicz P(A)P(A).

    1. moneta wybiera urnę I (11 b, 11 c) albo II (33 b, 11 c); AA — biała
    2. P(B1)=0,6P(B_1) = 0{,}6, P(A∣B1)=0,1P(A|B_1) = 0{,}1, P(A∣B2)=0,3P(A|B_2) = 0{,}3
    3. kostka: 11–22 urna I (22 b, 22 c), 33–66 urna II (11 b, 44 c); AA — biała
    4. automaty: 70%70\% i 30%30\% produkcji, braki 1%1\% i 4%4\%; AA — brak
    Odpowiedzi

    a) 58\frac58   b) 0,180{,}18   c) 310\frac{3}{10}   d) 0,0190{,}019

Poziom D · wzór Bayesa

Zestawy D

1 zestaw

  1. Oblicz (dane z poziomu C).

    1. urna I pod warunkiem, że wylosowano białą (pierwszy przykład C)
    2. P(B1∣A)P(B_1|A) (drugi przykład C)
    3. automat II pod warunkiem braku
    4. choroba 2%2\%, test: dodatni u 90%90\% chorych i 5%5\% zdrowych; chory pod warunkiem wyniku dodatniego
    Odpowiedzi

    a) 1/45/8=25\frac{1/4}{5/8} = \frac25   b) 13\frac13   c) 1219≈0,63\frac{12}{19} \approx 0{,}63   d) 1867≈0,27\frac{18}{67} \approx 0{,}27

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu rozszerzonym CKE: zadania otwarte z punktowanymi etapami.

Zadania w stylu arkusza

2 zadania · 6 pkt

  1. (0–3 pkt) Adam trafia rzut wolny z prawdopodobieństwem 0,80{,}8, a Bartek z prawdopodobieństwem 0,50{,}5. Trener rzuca monetą, który z nich wykona rzut. Rzut był celny. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucał Adam. Wynik podaj w zaokrągleniu do części setnych.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Dane. P(A)=P(B)=0,5P(A) = P(B) = 0{,}5;  P(T∣A)=0,8\ P(T|A) = 0{,}8, P(T∣B)=0,5P(T|B) = 0{,}5.
    2. Całkowite. P(T)=0,4+0,25=0,65P(T) = 0{,}4 + 0{,}25 = 0{,}65.
    3. Bayes. P(A∣T)=0,40,65=813≈0,62P(A|T) = \frac{0{,}4}{0{,}65} = \frac{8}{13} \approx 0{,}62.

    1 pkt za wypisanie danych. 2 pkt za P(T)=0,65P(T) = 0{,}65. 3 pkt za ≈0,62\approx 0{,}62.

  2. (0–3 pkt) Ze zbioru {1,2,…,10}\{1, 2, \ldots, 10\} losujemy kolejno dwie liczby bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn wylosowanych liczb jest parzysty, jeśli wiadomo, że ich suma jest parzysta.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. |B|. suma parzysta: obie nieparzyste 5⋅45\cdot4 albo obie parzyste 5⋅45\cdot4;  ∣B∣=40\ |B| = 40.
    2. |A ∩ B|. iloczyn parzysty przy parzystej sumie tylko dla obu parzystych: 2020.
    3. Wynik. 2040=12\frac{20}{40} = \frac12.

    1 pkt za ∣B∣=40|B| = 40. 2 pkt za ∣A∩B∣=20|A \cap B| = 20. 3 pkt za wynik.