Mathematics and Physics from the Ground Up
PLEN

Matura in mathematics › 8.2 Triangles: types and special points › Drill

Matura · poziom podstawowy · trening 8.2

Trening: rodzaje trójkątów, punkty szczególne, RR i rr

Zestawy krótkich przykładów do lekcji 8.2 Trójkąty: rodzaje i punkty szczególne: rodzaj trójkąta z boków, środek ciężkości, trójkąt równoboczny, promienie w trójkącie prostokątnym i dowolnym. Na końcu zadania w stylu arkusza.

Poziom A · rodzaj trójkąta

Zestawy A

1 zestaw

  1. Czy trójkąt istnieje? Jeśli tak, czy jest ostro-, prosto- czy rozwartokątny?

    1. 44, 55, 66
    2. 55, 1212, 1313
    3. 44, 66, 99
    4. 33, 44, 88
    5. 66, 66, 626\sqrt2
    6. 77, 2424, 2525
    Odpowiedzi

    a) ostrokątny   b) prostokątny   c) rozwartokątny   d) nie istnieje   e) prostokątny   f) prostokątny

Poziom B · środkowe i trójkąt równoboczny

Zestawy B

1 zestaw

  1. Oblicz (SS to środek ciężkości, ADAD środkowa).

    1. ∣AD∣=21|AD| = 21;  ∣AS∣\ |AS|
    2. ∣AS∣=6|AS| = 6;  ∣AD∣\ |AD|
    3. równoboczny, a=12a = 12;  R\ R
    4. równoboczny, a=12a = 12;  r\ r
    5. równoboczny, R=10R = 10;  a\ a
    6. równoboczny, h=9h = 9;  R\ R i rr
    Odpowiedzi

    a) 1414   b) 99   c) 434\sqrt3   d) 232\sqrt3   e) 10310\sqrt3   f) 66 i 33

Poziom C · promienie

Zestawy C

1 zestaw

  1. Oblicz.

    1. przyprostokątne 55, 1212;  R\ R i rr
    2. przyprostokątne 2020, 2121;  R\ R i rr
    3. boki 1313, 1414, 1515 (pole 8484);  r\ r
    4. boki 1313, 1313, 1010;  r\ r i RR
    5. A=(0,0)A = (0, 0), B=(6,0)B = (6, 0), C=(0,8)C = (0, 8); środek okręgu opisanego
    Odpowiedzi

    a) 132\tfrac{13}{2} i 22   b) 292\tfrac{29}{2} i 66   c) 44   d) 103\tfrac{10}{3} i 16924\tfrac{169}{24}   e) (3, 4)(3,\ 4)

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu CKE: zamknięte jednokrotnego wyboru i krótkie zadanie otwarte.

Zadania w stylu arkusza

3 zadania · 5 pkt

  1. (0–1 pkt) Okrąg wpisany w trójkąt równoboczny ma promień 33. Bok tego trójkąta ma długość

    A.66B.636\sqrt3C.99D.333\sqrt3
    Odpowiedź

    B. h=3r=9h = 3r = 9,  a=2⋅93=63\ a = \frac{2 \cdot 9}{\sqrt3} = 6\sqrt3.

  2. (0–1 pkt) Środek okręgu opisanego na trójkącie jest punktem przecięcia

    A.dwusiecznych kątówB.symetralnych bokówC.środkowychD.prostych zawierających wysokości
    Odpowiedź

    B. Punkt na symetralnej odcinka jest równo odległy od jego końców.

  3. (0–3 pkt) Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 1010, a jedna z przyprostokątnych 66. Oblicz promienie okręgów opisanego na tym trójkącie i wpisanego w ten trójkąt.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Druga przyprostokątna. 100−36=8\sqrt{100 - 36} = 8.
    2. Okrąg opisany. R=102=5R = \frac{10}{2} = 5.
    3. Okrąg wpisany. r=6+8−102=2r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = 2.

    1 pkt za przyprostokątną 88. 2 pkt za R=5R = 5. 3 pkt za r=2r = 2.