Mathematics and Physics from the Ground Up
PLEN

Matura in mathematics › 7.4 Angle-sum formulas and trigonometric equations › Drill

Matura · poziom rozszerzony · trening 7.4

Trening: wzory sumy kątów i równania trygonometryczne

Zestawy krótkich przykładów do lekcji 7.4 Wzory na funkcje sumy kątów i równania trygonometryczne: wartości z wzorów na sumę i podwojony kąt, równania elementarne w R\mathbb R, równania sprowadzane do iloczynu w przedziale. Na końcu zadania w stylu arkusza rozszerzonego.

Poziom A · wartości z wzorów

Zestawy A

2 zestawy

  1. Oblicz, korzystając z wzorów na funkcje sumy i różnicy kątów.

    1. cos⁡75∘\cos 75^\circ
    2. sin⁡15∘\sin 15^\circ
    3. cos⁡105∘\cos 105^\circ
    4. tg⁡15∘\operatorname{tg} 15^\circ
    5. uprość sin⁡(x+π3)−sin⁡(x−π3)\sin\left(x + \frac\pi3\right) - \sin\left(x - \frac\pi3\right)
    Odpowiedzi

    a) 6−24\tfrac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}   b) 6−24\tfrac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}   c) 2−64\tfrac{\sqrt2 - \sqrt6}{4}   d) 2−32 - \sqrt3   e) 3cos⁡x\sqrt3\cos x

  2. Oblicz, korzystając z wzorów na podwojony kąt.

    1. sin⁡2α\sin2\alpha, gdy sin⁡α=35\sin\alpha = \frac35, α\alpha ostry
    2. cos⁡2α\cos2\alpha, gdy sin⁡α=35\sin\alpha = \frac35
    3. cos⁡2α\cos2\alpha, gdy cos⁡α=−13\cos\alpha = -\frac13
    4. tg⁡2α\operatorname{tg}2\alpha, gdy tg⁡α=3\operatorname{tg}\alpha = 3
    5. cos⁡215∘−sin⁡215∘\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ
    6. 2sin⁡22,5∘cos⁡22,5∘2\sin 22{,}5^\circ\cos 22{,}5^\circ
    Odpowiedzi

    a) 2425\tfrac{24}{25}   b) 725\tfrac{7}{25}   c) −79-\tfrac79   d) −34-\tfrac34   e) 32\tfrac{\sqrt3}{2}   f) 22\tfrac{\sqrt2}{2}

Poziom B · równania elementarne w R\mathbb R

Zestawy B

1 zestaw

  1. Rozwiąż równanie (k∈Zk \in \mathbb Z).

    1. sin⁡x=22\sin x = \frac{\sqrt2}{2}
    2. cos⁡2x=−1\cos2x = -1
    3. tg⁡3x=1\operatorname{tg}3x = 1
    4. sin⁡(x−π4)=0\sin\left(x - \frac\pi4\right) = 0
    5. cos⁡x2=12\cos\frac x2 = \frac12
    6. cos⁡x=2\cos x = 2
    Odpowiedzi

    a) π4+2kπ\tfrac\pi4 + 2k\pi, 3π4+2kπ\tfrac{3\pi}4 + 2k\pi   b) π2+kπ\tfrac\pi2 + k\pi   c) π12+kπ3\tfrac{\pi}{12} + \tfrac{k\pi}{3}   d) π4+kπ\tfrac\pi4 + k\pi   e) ±2π3+4kπ\pm\tfrac{2\pi}{3} + 4k\pi   f) brak rozwiązań

Poziom C · do iloczynu, rozwiązania w przedziale

Zestawy C

1 zestaw

  1. Rozwiąż równanie w podanym przedziale.

    1. cos⁡2x=cos⁡x\cos2x = \cos x,  [0, 2π]\ [0,\,2\pi]
    2. sin⁡2x=sin⁡x\sin2x = \sin x,  [0, π]\ [0,\,\pi]
    3. sin⁡x+cos⁡x=1\sin x + \cos x = 1,  [0, 2π]\ [0,\,2\pi]
    4. sin⁡5x−sin⁡x=0\sin5x - \sin x = 0,  [0, π2]\ \left[0,\,\frac\pi2\right]
    5. tg⁡x=2sin⁡x\operatorname{tg}x = 2\sin x,  (−π2, π2)\ \left(-\frac\pi2,\,\frac\pi2\right)
    Odpowiedzi

    a) 0, 2π3, 4π3, 2π0,\ \tfrac{2\pi}3,\ \tfrac{4\pi}3,\ 2\pi   b) 0, π3, π0,\ \tfrac\pi3,\ \pi   c) 0, π2, 2π0,\ \tfrac\pi2,\ 2\pi   d) 0, π6, π20,\ \tfrac\pi6,\ \tfrac\pi2   e) −π3, 0, π3-\tfrac\pi3,\ 0,\ \tfrac\pi3

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu rozszerzonym CKE: zadania otwarte z punktowanymi etapami (wzór, alternatywa, rozwiązania).

Zadania w stylu arkusza

3 zadania · 11 pkt

  1. (0–3 pkt) Rozwiąż równanie cos⁡2x=3sin⁡x−1\cos2x = 3\sin x - 1 w przedziale [0, 2π][0,\,2\pi].

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Wzór. 1−2sin⁡2x=3sin⁡x−11 - 2\sin^2x = 3\sin x - 1, czyli 2sin⁡2x+3sin⁡x−2=02\sin^2x + 3\sin x - 2 = 0.
    2. Pierwiastki. (2sin⁡x−1)(sin⁡x+2)=0(2\sin x - 1)(\sin x + 2) = 0:  sin⁡x=12\ \sin x = \frac12 (bo sin⁡x=−2\sin x = -2 jest niemożliwe).
    3. W przedziale. x∈{π6, 5π6}x \in \left\{\frac\pi6,\ \frac{5\pi}{6}\right\}.

    1 pkt za równanie kwadratowe w sin⁡x\sin x. 2 pkt za sin⁡x=12\sin x = \frac12 i odrzucenie −2-2. 3 pkt za oba rozwiązania.

  2. (0–4 pkt) Rozwiąż równanie sin⁡3x=sin⁡x\sin3x = \sin x w przedziale [0, π][0,\,\pi].

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Wzór. sin⁡3x−sin⁡x=2cos⁡2xsin⁡x=0\sin3x - \sin x = 2\cos2x\sin x = 0.
    2. Alternatywa. cos⁡2x=0\cos2x = 0 albo sin⁡x=0\sin x = 0.
    3. Pierwsze. x=π4+kπ2x = \frac\pi4 + \frac{k\pi}2: π4\frac\pi4, 3π4\frac{3\pi}4.
    4. Drugie. x=0x = 0 albo x=πx = \pi.

    1 pkt za wzór na różnicę sinusów (albo na sin⁡3x\sin3x). 2 pkt za alternatywę. 3 pkt za rozwiązania jednego równania. 4 pkt za x∈{0, π4, 3π4, π}x \in \left\{0,\ \frac\pi4,\ \frac{3\pi}4,\ \pi\right\}.

  3. (0–4 pkt) Rozwiąż równanie cos⁡x+cos⁡3x=2cos⁡2x\cos x + \cos3x = 2\cos2x w zbiorze liczb rzeczywistych.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Wzór. cos⁡x+cos⁡3x=2cos⁡2xcos⁡x\cos x + \cos3x = 2\cos2x\cos x.
    2. Iloczyn. 2cos⁡2x (cos⁡x−1)=02\cos2x\,(\cos x - 1) = 0.
    3. Pierwsze. cos⁡2x=0\cos2x = 0:  x=π4+kπ2\ x = \frac\pi4 + \frac{k\pi}{2}.
    4. Drugie. cos⁡x=1\cos x = 1:  x=2kπ\ x = 2k\pi, k∈Zk \in \mathbb Z.

    1 pkt za wzór na sumę cosinusów. 2 pkt za alternatywę. 3 pkt za jedną serię. 4 pkt za obie. Podzielenie przez cos⁡2x\cos2x bez rozpatrzenia cos⁡2x=0\cos2x = 0: co najwyżej 3 pkt.