Mathematics and Physics from the Ground Up
PLEN

Matura in mathematics › 7.3 Radians, graphs, periodicity and reduction formulas › Drill

Matura · poziom rozszerzony · trening 7.3

Trening: miara łukowa, wykresy, wzory redukcyjne

Zestawy krótkich przykładów do lekcji 7.3 Miara łukowa, wykresy, okresowość i wzory redukcyjne: zamiana stopni na radiany, łuk i wycinek, wartości funkcji dowolnego kąta, wzory redukcyjne, okres i zbiór wartości. Na końcu zadania w stylu arkusza rozszerzonego.

Poziom A · radiany

Zestawy A

1 zestaw

  1. Zamień albo oblicz.

    1. 210∘210^\circ w radianach
    2. 3π5\tfrac{3\pi}{5} w stopniach
    3. łuk: r=6r = 6, α=π3\alpha = \tfrac{\pi}{3}
    4. pole wycinka: r=4r = 4, α=3π4\alpha = \tfrac{3\pi}{4}
    5. kąt wycinka: r=10r = 10, łuk 1515
    Odpowiedzi

    a) 7π6\tfrac{7\pi}{6}   b) 108∘108^\circ   c) 2π2\pi   d) 6π6\pi   e) 32\tfrac32 rad

Poziom B · wartości i redukcja

Zestawy B

1 zestaw

  1. Oblicz.

    1. sin⁡5π3\sin\frac{5\pi}{3}
    2. cos⁡7π4\cos\frac{7\pi}{4}
    3. tg⁡2π3\operatorname{tg}\frac{2\pi}{3}
    4. sin⁡(−π6)+cos⁡(−π)\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \cos(-\pi)
    5. cos⁡13π6\cos\frac{13\pi}{6}
    6. sin⁡(π−x)−sin⁡(π+x)\sin(\pi - x) - \sin(\pi + x)
    7. cos⁡(π2+x)+sin⁡x\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + \sin x
    Odpowiedzi

    a) −32-\tfrac{\sqrt3}{2}   b) 22\tfrac{\sqrt2}{2}   c) −3-\sqrt3   d) −32-\tfrac32   e) 32\tfrac{\sqrt3}{2}   f) 2sin⁡x2\sin x   g) 00

Poziom C · okres i wartości

Zestawy C

1 zestaw

  1. Podaj okres podstawowy i zbiór wartości.

    1. y=2sin⁡x−3y = 2\sin x - 3
    2. y=cos⁡4xy = \cos 4x
    3. y=−3sin⁡x3+1y = -3\sin\frac{x}{3} + 1
    4. y=tg⁡3xy = \operatorname{tg} 3x
    5. y=∣sin⁡x∣y = |\sin x|
    Odpowiedzi

    a) 2π2\pi; [−5, −1][-5,\,-1]   b) π2\tfrac{\pi}{2}; [−1, 1][-1,\,1]   c) 6π6\pi; [−2, 4][-2,\,4]   d) π3\tfrac{\pi}{3}; R\mathbb R   e) π\pi; [0, 1][0,\,1]

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu rozszerzonym CKE: krótkie zadania otwarte z punktowanymi etapami.

Zadania w stylu arkusza

3 zadania · 8 pkt

  1. (0–2 pkt) Wykaż, że sin⁡4π3⋅cos⁡5π6=34\sin\frac{4\pi}{3} \cdot \cos\frac{5\pi}{6} = \frac34.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Redukcja. sin⁡4π3=−sin⁡π3=−32\sin\frac{4\pi}3 = -\sin\frac\pi3 = -\frac{\sqrt3}{2}, cos⁡5π6=−cos⁡π6=−32\cos\frac{5\pi}6 = -\cos\frac\pi6 = -\frac{\sqrt3}{2}.
    2. Iloczyn. 34\frac34.

    1 pkt za jedną wartość. 2 pkt za obie i wniosek.

  2. (0–3 pkt) Obwód wycinka koła jest równy 1616, a jego pole 1515. Oblicz promień i kąt środkowy (w radianach), jeśli kąt jest mniejszy od π\pi.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Układ. 2r+rα=162r + r\alpha = 16, 12r2α=15\frac12 r^2\alpha = 15.
    2. Podstawienie. rα=16−2rr\alpha = 16 - 2r, więc 12r(16−2r)=15\frac12 r(16 - 2r) = 15, czyli r2−8r+15=0r^2 - 8r + 15 = 0: r=3r = 3 albo r=5r = 5.
    3. Wybór. r=3r = 3: α=103>π\alpha = \frac{10}{3} > \pi ✗;  r=5\ r = 5: α=65<π\alpha = \frac65 < \pi ✓.

    1 pkt za układ. 2 pkt za r∈{3, 5}r \in \{3,\,5\}. 3 pkt za r=5r = 5, α=65\alpha = \frac65.

  3. (0–3 pkt) Wyznacz liczbę rozwiązań równania sin⁡(2x)=−12\sin(2x) = -\frac12 w przedziale [0, 2π][0,\,2\pi] i podaj najmniejsze z nich.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Ogólnie. 2x=−π6+2kπ2x = -\frac\pi6 + 2k\pi albo 2x=7π6+2kπ2x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi.
    2. W przedziale. x∈{7π12, 11π12, 19π12, 23π12}x \in \left\{\frac{7\pi}{12},\ \frac{11\pi}{12},\ \frac{19\pi}{12},\ \frac{23\pi}{12}\right\}.
    3. Odpowiedź. cztery rozwiązania, najmniejsze 7π12\frac{7\pi}{12}.

    1 pkt za rozwiązania ogólne. 2 pkt za rozwiązania w przedziale. 3 pkt za liczbę 44 i 7π12\frac{7\pi}{12}.