Mathematics and Physics from the Ground Up
PLEN

Matura in mathematics › 6.3 Geometric sequences › Drill

Matura · poziom podstawowy · trening 6.3

Trening: ciąg geometryczny

Zestawy krótkich przykładów do lekcji 6.3 Ciąg geometryczny: wyrazy i iloraz z dwóch danych, sumy, warunek b2=acb^2 = ac, iloczyny wyrazów oraz ciągi mieszane (arytmetyczny i geometryczny razem). Na końcu zadania w stylu arkusza.

Poziom A · wyrazy i iloraz

Zestawy A

1 zestaw

  1. Ciąg geometryczny: oblicz szukaną wielkość.

    1. a1=5a_1 = 5, q=2q = 2;  a6\ a_6
    2. a1=64a_1 = 64, a2=−32a_2 = -32;  a6\ a_6
    3. a3=12a_3 = 12, a5=48a_5 = 48, wyrazy dodatnie;  a1\ a_1
    4. a2=6a_2 = 6, a5=−48a_5 = -48;  q\ q
    5. a1=2a_1 = \sqrt2, q=2q = \sqrt2;  a7\ a_7
    6. a4=9a6a_4 = 9a_6, ciąg malejący o wyrazach dodatnich;  q\ q
    Odpowiedzi

    a) 160160   b) −2-2   c) 33   d) −2-2   e) 828\sqrt2   f) 13\tfrac13

Poziom B · sumy i iloczyny

Zestawy B

1 zestaw

  1. Oblicz.

    1. a1=1a_1 = 1, q=3q = 3;  S5\ S_5
    2. a1=32a_1 = 32, q=12q = \tfrac12;  S6\ S_6
    3. 2−4+8−⋯+1282 - 4 + 8 - \dots + 128
    4. a4⋅a6=18a_4 \cdot a_6 = 18;  a3⋅a7\ a_3 \cdot a_7
    5. a5=2a_5 = 2;  a1a2⋯a9\ a_1 a_2 \cdots a_9
    6. a2a8=36a_2a_8 = 36, wyrazy dodatnie;  a5\ a_5
    Odpowiedzi

    a) 121121   b) 6363   c) 8686   d) 1818   e) 512512   f) 66

Poziom C · trzy wyrazy i ciągi mieszane

Zestawy C

2 zestawy

  1. Wyznacz xx, dla których ciąg jest geometryczny.

    1. (2, x, 18)(2,\ x,\ 18)
    2. (x, 6, x+5)(x,\ 6,\ x + 5)
    3. (x+1, 2x+2, 12)(x + 1,\ 2x + 2,\ 12)
    4. (3, x, 27)(\sqrt3,\ x,\ \sqrt{27}), x>0x > 0
    5. (x, x+4, 3x+12)(x,\ x + 4,\ 3x + 12)
    Odpowiedzi

    a) ±6\pm 6   b) −9-9 albo 44   c) 22   d) 33   e) 22 (x=−4x = -4 daje wyrazy zerowe)

  2. Ciągi mieszane.

    1. an=2n+2a_n = 2n + 2; kk, dla którego (a1, a3, ak)(a_1,\ a_3,\ a_k) jest geometryczny
    2. (1, x, y)(1,\ x,\ y) arytmetyczny, (1, x, y+4)(1,\ x,\ y + 4) geometryczny, x>0x > 0
    3. (4, b, c)(4,\ b,\ c) geometryczny, (4, b+2, c)(4,\ b + 2,\ c) arytmetyczny, b≠0b \ne 0; bb, cc
    4. (2, 1, x)(2,\ 1,\ x) arytmetyczny i (2, 1, y)(2,\ 1,\ y) geometryczny; xx, yy
    Odpowiedzi

    a) k=7k = 7   b) x=3x = 3, y=5y = 5   c) b=8b = 8, c=16c = 16   d) x=0x = 0, y=12y = \tfrac12

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu CKE: dokończ zdanie, uzupełnij lukę i zadania otwarte za 2–3 punkty.

Zadania w stylu arkusza

5 zadań · 8 pkt

  1. (0–1 pkt) W ciągu geometrycznym a1=−2a_1 = -2 i a4=54a_4 = 54. Iloraz tego ciągu jest równy

    A.−27-27B.−3-3C.33D.2727
    Odpowiedź

    B. q3=−27q^3 = -27.

  2. (0–1 pkt) Ciąg geometryczny jest malejący, a jego wyrazy są dodatnie. Wiadomo, że a3=49a5a_3 = 49a_5. Wtedy

    A.q=−7q = -7B.q=−17q = -\tfrac17C.q=17q = \tfrac17D.q=7q = 7
    Odpowiedź

    C. q2=149q^2 = \frac1{49}; malejący o dodatnich wyrazach: 0<q<10 < q < 1.

  3. (0–1 pkt) W ciągu geometrycznym a4=2a_4 = 2. Iloczyn a1⋅a2⋅…⋅a7a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_7 jest równy

    A.1414B.6464C.128128D.256256
    Odpowiedź

    C. a47=27a_4^7 = 2^7.

  4. (0–2 pkt) Ciąg (x, x+6, 4x)(x,\ x + 6,\ 4x) jest geometryczny o wyrazach dodatnich. Oblicz xx.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Warunek. (x+6)2=4x2(x + 6)^2 = 4x^2; wyrazy dodatnie, więc x+6=2xx + 6 = 2x.
    2. Wynik. x=6x = 6: (6, 12, 24)(6,\,12,\,24).

    1 pkt za równanie (x+6)2=4x2(x + 6)^2 = 4x^2. 2 pkt za x=6x = 6 (z odrzuceniem x=−2x = -2, które daje wyrazy ujemne).

  5. (0–3 pkt) Ciąg (an)(a_n) jest arytmetyczny, a1=4a_1 = 4, r≠0r \ne 0. Wyrazy a1a_1, a2a_2, a5a_5 tworzą (w tej kolejności) ciąg geometryczny. Oblicz rr i iloraz tego ciągu geometrycznego.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Warunek. (4+r)2=4(4+4r)(4 + r)^2 = 4(4 + 4r), czyli r2−8r=0r^2 - 8r = 0.
    2. Rozwiązania. r=0r = 0 (odrzucamy) albo r=8r = 8.
    3. Iloraz. (4, 12, 36)(4,\,12,\,36), q=3q = 3.

    1 pkt za równanie a22=a1a5a_2^2 = a_1a_5 zapisane przez rr. 2 pkt za r=8r = 8. 3 pkt za q=3q = 3.