Drill: 5.6 Exponential and logarithmic functions · Mathematics and Physics from the Ground Up

Poziom A · własności funkcji

Zestawy A

2 zestawy

Oblicz wartość funkcji.
1. $f(x) = 3^x$ , $\ f(-2)$
2. $f(x) = \left(\tfrac12\right)^x$ , $\ f(-3)$
3. $g(x) = \log_2 x$ , $\ g(\tfrac18)$
4. $g(x) = \log_5 x$ , $\ g(\sqrt5)$
5. $g(x) = \log_{\frac12} x$ , $\ g(4)$
6. $f(x) = 4^x$ , $\ f(\tfrac32)$
Odpowiedzi
a) $\tfrac19$ b) $8$ c) $-3$ d) $\tfrac12$ e) $-2$ f) $8$
Podaj monotoniczność i zbiór wartości (albo dziedzinę dla logarytmu).
1. $y = 0{,}7^x$
2. $y = 2^x + 1$
3. $y = \log_3 x$
4. $y = -3^x$
5. $y = \log_{0{,}2} x$
Odpowiedzi
a) malejąca; $(0,\,+\infty)$ b) rosnąca; $(1,\,+\infty)$ c) rosnąca; $D = (0,\,+\infty)$ d) malejąca; $(-\infty,\,0)$ e) malejąca; $D = (0,\,+\infty)$

Poziom B · model $N_0 k^t$

Zestawy B

2 zestawy

Podaj $k$ i zinterpretuj.
1. wzrost o $6\%$ rocznie
2. spadek o $30\%$ na godzinę
3. $k = 1{,}35$
4. $k = 0{,}96$
5. $k = 2$
6. $k = 3$
Odpowiedzi
a) $k = 1{,}06$ b) $k = 0{,}7$ c) wzrost o $35\%$ d) spadek o $4\%$ e) wzrost o $100\%$ (podwojenie) f) wzrost o $200\%$
Oblicz.
1. $N(t) = 500 \cdot 1{,}2^t$ , $\ N(2)$
2. $N(t) = 6400 \cdot 0{,}5^t$ , $\ N(4)$
3. $1000$ zł, $5\%$ rocznie, po $2$ latach
4. $90$ g, czas połowienia $3$ h, po $9$ h
5. łączna zmiana po dwóch spadkach o $10\%$
Odpowiedzi
a) $720$ b) $400$ c) $1102{,}50$ zł d) $11{,}25$ g e) spadek o $19\%$

Poziom C · pomiary i czas

Zestawy C

2 zestawy

Model $N(t) = N_0 k^t$ , $k > 0$ . Oblicz brakujące wielkości.
1. $N(0) = 200$ , $N(2) = 288$ ; $\ k$
2. $N(1) = 6$ , $N(3) = 54$ ; $\ N(2)$
3. $N(2) = 50$ , $N(4) = 32$ ; $\ k$
4. $N(2) = 50$ , $N(4) = 32$ ; $\ N_0$
5. $N(3) = 16$ , $N(5) = 4$ ; $\ N(4)$
Odpowiedzi
a) $1{,}2$ b) $18$ c) $0{,}8$ d) $78{,}125$ e) $8$
Wyznacz $t$ (albo dwie kolejne liczby całkowite, między którymi leży).
1. $2^t = 64$
2. $100 \cdot \left(\tfrac12\right)^{t/4} = 12{,}5$
3. $5^t = 0{,}04$
4. $2^t = 20$
5. $1{,}1^t = 2$
Odpowiedzi
a) $6$ b) $12$ c) $-2$ d) $t \in (4,\,5)$ e) $t \in (7,\,8)$

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu CKE: P/F, dokończ zdanie i zadania otwarte z modelem wykładniczym, w których punktowane są kolejne etapy: równanie, parametr, interpretacja.

Zadania w stylu arkusza

5 zadań · 8 pkt

(0–1 pkt) Dana jest funkcja $f(x) = \log_8 x$ . Oceń prawdziwość zdań.

1. $f(2) = \tfrac13$ . P F
2. $f(64) = 8$ . P F
Odpowiedź
PF.
1. $8^{1/3} = 2$ ✓.
2. $8^2 = 64$ , więc $f(64) = 2$ .
(0–1 pkt) Wykres funkcji $f(x) = a^x$ przechodzi przez punkt $(-1,\,4)$ . Funkcja $f$ jest

A.rosnąca i $a = 4$ B.malejąca i $a = \tfrac14$ C.rosnąca i $a = \tfrac14$ D.malejąca i $a = -4$
Odpowiedź
B.
1. $a^{-1} = 4$ , więc $a = \tfrac14$ .
2. $0 < a < 1$ : malejąca.
(0–1 pkt) Cena towaru wzrosła dwa razy z rzędu o $20\%$ . Łącznie cena wzrosła o

A. $40\%$ B. $44\%$ C. $140\%$ D. $144\%$
Odpowiedź
B.
1. $1{,}2^2 = 1{,}44$ .
(0–2 pkt) Wielkość $Q$ zmienia się według $Q(t) = Q_0 \cdot k^t$ , $k > 0$ . Wiadomo, że $Q(2) = 3$ i $Q(4) = 75$ . Oblicz $Q(3)$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Ciąg geometryczny. $Q(3)^2 = Q(2) \cdot Q(4) = 225$ .
2. Wynik. $Q(3) > 0$ , więc $Q(3) = 15$ .
1 pkt za zapis $Q(3)^2 = Q(2)\,Q(4)$ albo za $k = 5$ . 2 pkt za $Q(3) = 15$ .
(0–3 pkt) W ciągu każdej godziny lek jest usuwany z organizmu w $25\%$ (ilość leku maleje o $25\%$ co godzinę). Pacjent przyjął dawkę $256$ mg. Oblicz, ile leku pozostanie po $4$ godzinach i po ilu pełnych godzinach w organizmie będzie mniej niż $100$ mg.
Rozwiązanie i punktacja
1. Model. $m(t) = 256 \cdot 0{,}75^t$ .
2. Po $4$ h. $256 \cdot 0{,}75^4 = 256 \cdot \tfrac{81}{256} = 81$ mg.
3. Próg. $m(3) = 256 \cdot \tfrac{27}{64} = 108 > 100$ , $\ m(4) = 81 < 100$ .
4. Odpowiedź. $81$ mg; mniej niż $100$ mg po $4$ pełnych godzinach.
1 pkt za model $256 \cdot 0{,}75^t$ . 2 pkt za $81$ mg. 3 pkt za odpowiedź $4$ h z uzasadnieniem ( $m(3) > 100$ ).