Mathematics and Physics from the Ground Up
PLEN

Matura in mathematics › 5.5 Inverse proportionality › Drill

Matura · poziom podstawowy · trening 5.5

Trening: proporcjonalność odwrotna

Zestawy krótkich przykładów do lekcji 5.5 Proporcjonalność odwrotna: tabele, współczynnik z punktu, zadania z treścią, a dla zakresu rozszerzonego wydzielanie części całkowitej i punkty kratowe. Na końcu zadania w stylu arkusza.

Poziom A · tabela i współczynnik

Zestawy A

2 zestawy

  1. xx i yy są odwrotnie proporcjonalne. Oblicz brakującą wartość.

    1. x=4x = 4, y=9y = 9;  y\ y dla x=6x = 6
    2. x=10x = 10, y=3y = 3;  y\ y dla x=15x = 15
    3. x=18x = 18, y=5y = 5;  y\ y dla x=12x = 12
    4. x=23x = \tfrac23, y=6y = 6;  y\ y dla x=2x = 2
    5. x=0,5x = 0{,}5, y=8y = 8;  x\ x dla y=2y = 2
    6. x=2x = \sqrt2, y=8y = \sqrt8;  y\ y dla x=2x = 2
    Odpowiedzi

    a) 66   b) 22   c) 7,57{,}5   d) 22   e) 22   f) 22

  2. Wykres y=axy = \frac ax przechodzi przez podany punkt. Podaj aa i ćwiartki, w których leży wykres.

    1. (3, −2)(3,\,-2)
    2. (−4, −5)(-4,\,-5)
    3. (12, 8)(\tfrac12,\,8)
    4. (−3, 3)(-\sqrt3,\,\sqrt3)
    Odpowiedzi

    a) a=−6a = -6; II i IV   b) a=20a = 20; I i III   c) a=4a = 4; I i III   d) a=−3a = -3; II i IV

Poziom B · zadania z treścią

Zestawy B

1 zestaw

  1. Oblicz.

    1. 66 pomp opróżnia zbiornik w 1010 h; ile godzin zajmie to 44 pompom?
    2. trasę pokonano w 44 h z prędkością 6060 km/h; ile czasu przy 8080 km/h?
    3. prostokąt ma pole 4848 i bok 66; drugi bok, gdy pierwszy wydłużymy do 88
    4. czas skrócono o 20%20\%; o ile procent wzrosła prędkość?
    5. prędkość wzrosła o 50%50\%; o ile procent skrócił się czas?
    Odpowiedzi

    a) 1515 h   b) 33 h   c) 66   d) 25%25\%   e) o 3313%33\tfrac13\%

Poziom C · R: postać q+ax−pq + \frac{a}{x - p}

Zestawy C

2 zestawy

  1. Zapisz w postaci q+ax−pq + \dfrac{a}{x - p} i podaj asymptoty.

    1. x+3x−1\dfrac{x + 3}{x - 1}
    2. 2x−1x+1\dfrac{2x - 1}{x + 1}
    3. −x+4x−2\dfrac{-x + 4}{x - 2}
    4. 3xx+1\dfrac{3x}{x + 1}
    Odpowiedzi

    a) 1+4x−11 + \dfrac{4}{x - 1}; x=1x = 1, y=1y = 1   b) 2−3x+12 - \dfrac{3}{x + 1}; x=−1x = -1, y=2y = 2   c) −1+2x−2-1 + \dfrac{2}{x - 2}; x=2x = 2, y=−1y = -1   d) 3−3x+13 - \dfrac{3}{x + 1}; x=−1x = -1, y=3y = 3

  2. Ile punktów kratowych leży na wykresie?

    1. y=1+6x−2y = 1 + \dfrac{6}{x - 2}
    2. y=x+3x−1y = \dfrac{x + 3}{x - 1}
    3. y=2x−1x+1y = \dfrac{2x - 1}{x + 1}
    4. y=4x+9x+2y = \dfrac{4x + 9}{x + 2}
    Odpowiedzi

    a) 88   b) 66   c) 44   d) 22

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu CKE. W zadaniu otwartym z poziomu rozszerzonego punktowane są kolejne etapy rozwiązania.

Zadania w stylu arkusza

4 zadania · 6 pkt

  1. (0–1 pkt) W tabeli podano wartości dwóch wielkości odwrotnie proporcjonalnych: dla x=15x = 15 jest y=6y = 6, dla x=20x = 20 jest y=by = b. Liczba bb jest równa

    A.22B.4,54{,}5C.88D.1111
    Odpowiedź

    B.

    1. 15⋅6=9015 \cdot 6 = 90
    2. 90:20=4,590 : 20 = 4{,}5.

  2. (0–1 pkt) Do wykresu funkcji f(x)=axf(x) = \dfrac{a}{x} należy punkt (4, −32)(4,\,-\tfrac32). Wtedy

    A.a=−6a = -6B.a=−38a = -\tfrac38C.a=83a = \tfrac83D.a=6a = 6
    Odpowiedź

    A.

    1. a=4⋅(−32)=−6a = 4 \cdot (-\tfrac32) = -6.

  3. (0–1 pkt) Rowerzysta przejechał trasę w 1,51{,}5 h ze średnią prędkością 2424 km/h. Gdyby jechał ze średnią prędkością 1818 km/h, przejechałby tę trasę w

    A.1,1251{,}125 hB.1,751{,}75 hC.22 hD.2,252{,}25 h
    Odpowiedź

    C.

    1. Droga 3636 km
    2. 36:18=236 : 18 = 2 h.

  4. (0–3 pkt, R) Wyznacz wszystkie punkty o obu współrzędnych całkowitych, które należą do wykresu funkcji f(x)=3x+1x+2f(x) = \dfrac{3x + 1}{x + 2}.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Postać. 3x+1=3(x+2)−53x + 1 = 3(x + 2) - 5, więc f(x)=3−5x+2f(x) = 3 - \dfrac{5}{x + 2}.
    2. Dzielniki. x+2∈{−5, −1, 1, 5}x + 2 \in \{-5,\,-1,\,1,\,5\}, więc x∈{−7, −3, −1, 3}x \in \{-7,\,-3,\,-1,\,3\}.
    3. Wartości. f(−7)=4f(-7) = 4, f(−3)=8f(-3) = 8, f(−1)=−2f(-1) = -2, f(3)=2f(3) = 2.

    1 pkt za postać 3−5x+23 - \frac{5}{x + 2}. 2 pkt za co najmniej dwa przypadki z punktami. 3 pkt za wszystkie punkty: (−7, 4)(-7,\,4), (−3, 8)(-3,\,8), (−1, −2)(-1,\,-2), (3, 2)(3,\,2).