Drill: 5.4 The quadratic on an interval and optimisation · Mathematics and Physics from the Ground Up

Poziom A · wartości w przedziale

Zestawy A

2 zestawy

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji w podanym przedziale.
1. $x^2 - 2x - 3$ , $[0,\,3]$
2. $-x^2 + 4x$ , $[0,\,5]$
3. $x^2 + 4x + 1$ , $[0,\,2]$
4. $2x^2 - 8x + 3$ , $[-1,\,1]$
5. $-(x + 1)^2 + 5$ , $[-4,\,0]$
6. $\frac12x^2 - 3x$ , $[2,\,8]$
Wskazówka
Najpierw $p$ . Jeśli leży w przedziale, porównaj trzy wartości: na końcach i w wierzchołku. Jeśli nie, tylko dwie na końcach.

Odpowiedzi
a) min $-4$ , max $0$ b) min $-5$ , max $4$ c) min $1$ , max $13$ ( $p = -2$ poza przedziałem) d) min $-3$ , max $13$ ( $p = 2$ poza przedziałem) e) min $-4$ , max $5$ f) min $-\frac92$ , max $8$
Podaj argument, dla którego funkcja przyjmuje w przedziale największą wartość.
1. $(x - 1)^2$ , $[-2,\,3]$
2. $(x - 4)^2 + 2$ , $[0,\,10]$
3. $-(x - 3)^2 + 1$ , $[5,\,9]$
4. $-2(x + 2)^2$ , $[-5,\,1]$
5. $x^2 - 6x$ , $[-1,\,4]$
Wskazówka
Dla $a > 0$ wygrywa koniec dalszy od osi symetrii. Dla $a < 0$ wierzchołek, jeśli jest w przedziale; jeśli nie, koniec bliższy wierzchołka.

Odpowiedzi
a) $x = -2$ b) $x = 10$ c) $x = 5$ d) $x = -2$ e) $x = -1$

Poziom B · zastosowania i układanie funkcji

Zestawy B

2 zestawy

Wzór jest podany. Odpowiedz: dla jakiego argumentu wartość jest największa i ile wynosi?
1. wysokość $h(t) = -5t^2 + 40t$ (m, $t$ w s)
2. wysokość $h(t) = -4{,}9t^2 + 19{,}6t$ (m)
3. zysk $Z(x) = -x^2 + 50x - 400$ (zł)
4. pole $P(x) = x(18 - x)$
5. przychód $P(x) = (10 + x)(200 - 5x)$ zł przy cenie $10 + x$ zł
Odpowiedzi
a) $t = 4$ s, $80$ m b) $t = 2$ s, $19{,}6$ m c) $x = 25$ , $225$ zł d) $x = 9$ , $81$ e) $x = 15$ , cena $25$ zł, $3125$ zł
Nie rozwiązuj do końca: zapisz funkcję jednej zmiennej i jej dziedzinę.
1. pole prostokąta o obwodzie $30$ , $x$ to jeden bok
2. suma kwadratów dwóch liczb nieujemnych o sumie $10$
3. pole boczne prostopadłościanu o podstawie kwadratowej o boku $x$ i sumie krawędzi $24$
4. pole wybiegu przy ścianie z $60$ m siatki, $x$ to bok prostopadły do ściany
5. pole boczne walca, w którym $2r + h = 12$
Wskazówka
Z warunku wyraź drugą wielkość przez $x$ . Dziedzina: obie wielkości dodatnie (albo nieujemne, jeśli treść na to pozwala).

Odpowiedzi
a) $P(x) = x(15 - x)$ , $x \in (0,\,15)$ b) $S(x) = x^2 + (10 - x)^2$ , $x \in [0,\,10]$ c) $h = 6 - 2x$ , $P(x) = 4x(6 - 2x)$ , $x \in (0,\,3)$ d) $P(x) = x(60 - 2x)$ , $x \in (0,\,30)$ e) $P(r) = 2\pi r(12 - 2r)$ , $r \in (0,\,6)$

Poziom C · pełne zadanie optymalizacyjne

Zestawy C

1 zestaw

Dokończ zadania z zestawu B: wyznacz wymiary (albo liczby), dla których wartość jest największa lub najmniejsza, i tę wartość.
1. prostokąt o obwodzie $30$ , największe pole
2. dwie liczby nieujemne o sumie $10$ , najmniejsza suma kwadratów
3. prostopadłościan o podstawie kwadratowej, suma krawędzi $24$ , największe pole boczne
4. wybieg z $60$ m siatki, największe pole
5. walec, $2r + h = 12$ , największe pole boczne
Odpowiedzi
a) kwadrat $7{,}5 \times 7{,}5$ , pole $56{,}25$ b) $5$ i $5$ , suma kwadratów $50$ c) $x = 1{,}5$ , $h = 3$ , pole $18$ d) $15 \times 30$ m, $450\ \text{m}^2$ e) $r = 3$ , $h = 6$ , pole $36\pi$

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu CKE. W zadaniach zamkniętych: dokończ zdanie, wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. W zadaniach „prawda/fałsz” oceniasz dwa stwierdzenia, a punkt dostajesz tylko za oba poprawne. W zadaniach otwartych zapisz obliczenia: za tabelkę prób bez funkcji nie ma punktów.

Zadania w stylu arkusza

10 zadań · 19 pkt

(0–1 pkt) Najmniejsza wartość funkcji $f(x) = x^2 - 8x + 10$ w przedziale $[0,\,3]$ jest równa

A. $-6$ B. $-5$ C. $1$ D. $10$
Odpowiedź
B.
1. $p = 4 \notin [0,\,3]$ , funkcja w przedziale maleje: najmniejsza $f(3) = 9 - 24 + 10 = -5$ .
2. A to $q = f(4)$ spoza przedziału, D to wartość największa $f(0)$ .
(0–1 pkt) Najmniejsza wartość funkcji $f(x) = -3(x + 1)^2 + 2$ w przedziale $[-3,\,0]$ jest równa

A. $-10$ B. $-1$ C. $2$ D. $-3$
Odpowiedź
A.
1. Ramiona w dół, więc $q = 2$ to wartość największa.
2. Najmniejsza jest na końcu dalszym od osi $x = -1$ :
3. $f(-3) = -12 + 2 = -10$ (a $f(0) = -1$ ).
(0–1 pkt) Funkcja $f(x) = 2x^2 - 4x + 7$ przyjmuje w przedziale $[-1,\,4]$ największą wartość dla argumentu

A. $-1$ B. $1$ C. $4$ D. $23$
Odpowiedź
C.
1. $p = 1$ ; koniec $4$ jest od osi o $3$ , koniec $-1$ o $2$ .
2. $f(4) = 32 - 16 + 7 = 23$
3. $f(-1) = 13$ .
4. D to wartość, nie argument.
(0–1 pkt) Dana jest funkcja $f(x) = (x - 3)^2 - 4$ . Oceń prawdziwość stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.

1. Najmniejsza wartość funkcji $f$ w przedziale $[0,\,4]$ jest równa $-4$ . P / F
2. Największą wartość w przedziale $[0,\,4]$ funkcja $f$ przyjmuje dla $x = 4$ . P / F
Odpowiedź
PF.
1. $p = 3 \in [0,\,4]$ , więc najmniejsza to $q = -4$ .
2. Na końcach: $f(0) = 5$
3. $f(4) = -3$
4. Największa jest dla $x = 0$ (koniec dalszy od osi), a nie dla $x = 4$ .
(0–2 pkt) Piłkę wyrzucono z dachu. Jej wysokość nad ziemią (w metrach) po $t$ sekundach opisuje wzór $h(t) = -5t^2 + 15t + 20$ .

a) (0–1) Piłka spadła na ziemię po

A. $1{,}5$ sB. $4$ sC. $20$ sD. $31{,}25$ s

b) (0–1) Uzupełnij zdanie. Największa wysokość, na jaką wzniosła się piłka, jest równa ……… m.
Odpowiedź
a) B.
1. $-5t^2 + 15t + 20 = 0 \iff t^2 - 3t - 4 = 0 \iff (t - 4)(t + 1) = 0$
2. $t = -1$ odrzucamy.
3. A to chwila, w której piłka jest najwyżej.
b) $31{,}25$ :
1. $p = 1{,}5$
2. $h(1{,}5) = -11{,}25 + 22{,}5 + 20 = 31{,}25$ .
(0–1 pkt) Suma dwóch liczb jest równa $12$ . Największy możliwy iloczyn tych liczb jest równy

A. $36$ B. $35$ C. $72$ D. $144$
Odpowiedź
A.
1. $I(x) = x(12 - x)$
2. $p = 6$
3. $I(6) = 36$ .
4. D to $12^2$ .
(0–2 pkt) Kawiarnia przy cenie $12$ zł sprzedaje dziennie $200$ kaw. Każda podwyżka ceny o $0{,}50$ zł zmniejsza sprzedaż o $5$ kaw. Dzienny przychód po $x$ podwyżkach opisuje wzór $P(x) = (12 + 0{,}5x)(200 - 5x)$ , gdzie $x$ jest liczbą całkowitą i $0 \le x \le 40$ . Oblicz cenę kawy, przy której przychód jest największy. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie i punktacja
1. Miejsca zerowe. $12 + 0{,}5x = 0 \iff x = -24$ oraz $200 - 5x = 0 \iff x = 40$ ; ramiona w dół.
2. Wierzchołek. $p = \frac{-24 + 40}{2} = 8,$ liczba całkowita z przedziału $[0,\,40]$ .
3. Odpowiedź. cena $12 + 0{,}5\cdot 8 = 16$ zł (przychód $16\cdot 160 = 2560$ zł).
1 pkt za $x = 8$ . 2 pkt za cenę $16$ zł.

Uwaga: odpowiedź „ $x = 8$ ” bez ceny: 1 pkt.
(0–3 pkt) Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku $10$ . Na bokach $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ wybrano odpowiednio punkty $E$ , $F$ , $G$ , $H$ tak, że $|AE| = |BF| = |CG| = |DH| = x$ , gdzie $x \in (0,\,10)$ . Wyznacz wzór funkcji $S(x)$ opisującej pole czworokąta $EFGH$ . Oblicz $x$ , dla którego to pole jest najmniejsze, i to najmniejsze pole.
Rozwiązanie i punktacja
1. Trójkąty. cztery odcięte trójkąty prostokątne mają przyprostokątne $x$ i $10 - x$ .
2. Funkcja. $S(x) = 100 - 4\cdot\tfrac12 x(10 - x) = 2x^2 - 20x + 100.$
3. Wierzchołek. $p = 5 \in (0,\,10)$ , ramiona w górę.
4. Odpowiedź. $x = 5$ , najmniejsze pole $S(5) = 50$ .
1 pkt za zapisanie pola $EFGH$ jako różnicy pola kwadratu i pól czterech trójkątów ALBO za $|EF|^2 = x^2 + (10 - x)^2$ . 2 pkt za wzór $S(x) = 2x^2 - 20x + 100$ . 3 pkt za $x = 5$ i pole $50$ .
(0–3 pkt) Punkt $P = (x,\,y)$ leży na prostej $y = -2x + 8$ w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Prostokąt ma wierzchołki $(0,\,0)$ , $(x,\,0)$ , $P$ i $(0,\,y)$ . Wyznacz współrzędne punktu $P$ , dla którego pole prostokąta jest największe. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie i punktacja
1. Funkcja. boki prostokąta to $x$ i $y = -2x + 8$ , więc $F(x) = x(-2x + 8)$ .
2. Dziedzina. pierwsza ćwiartka: $x > 0$ i $-2x + 8 > 0$ , czyli $x \in (0,\,4)$ .
3. Wierzchołek. miejsca zerowe $0$ i $4$ , więc $p = 2$ .
4. Odpowiedź. $P = (2,\,4)$ , pole $8$ .
1 pkt za wzór $F(x) = x(8 - 2x)$ . 2 pkt za wzór i dziedzinę $x \in (0,\,4)$ ALBO za wzór i $p = 2$ . 3 pkt za $P = (2,\,4)$ .
(0–4 pkt) Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt, którego jeden bok jest trzy razy dłuższy od drugiego. Suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu jest równa $64$ . Niech $x$ oznacza długość krótszej krawędzi podstawy. Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji opisującej pole powierzchni bocznej prostopadłościanu w zależności od $x$ . Oblicz $x$ , dla którego to pole jest największe. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie i punktacja
1. Związek. krawędzie $x$ , $3x$ , $h$ : $4(x + 3x + h) = 64$ , stąd $h = 16 - 4x$ .
2. Funkcja. $\begin{aligned}P(x) &= 2(x + 3x)(16 - 4x) \\ &= 8x(16 - 4x) \\ &= -32x^2 + 128x.\end{aligned}$
3. Dziedzina. $x > 0$ i $16 - 4x > 0$ , czyli $x \in (0,\,4)$ .
4. Wierzchołek. miejsca zerowe $0$ i $4$ , więc $p = 2 \in (0,\,4)$ ; ramiona w dół.
5. Odpowiedź. $x = 2$ (krawędzie $2$ , $6$ , $8$ ; pole boczne $128$ ).
1 pkt za związek $h = 16 - 4x$ ALBO za zakres $x \in (0,\,4)$ . 2 pkt za wzór $P(x) = 8x(16 - 4x)$ ALBO za związek i zakres. 3 pkt za wzór i dziedzinę ALBO za wzór i $p = 2$ . 4 pkt za wzór, dziedzinę i $x = 2$ .

Uwagi: przyjęcie, że podstawa jest kwadratem (inny model): co najwyżej 2 pkt. Tabelka wartości: 0 pkt.