Mathematics and Physics from the Ground Up
PLEN

Matura in mathematics › 5.2 The linear function › Drill

Matura · poziom podstawowy · trening 5.2

Trening: funkcja liniowa

Zestawy krótkich przykładów do lekcji 5.2 Funkcja liniowa: miejsce zerowe i punkt na osi OyOy, wzór z dwóch informacji, kąt nachylenia, warunki z parametrem i przesunięcia wykresu. Na końcu zadania w stylu arkusza.

Poziom A · odczyt ze wzoru

Zestawy A

2 zestawy

  1. Podaj miejsce zerowe i punkt przecięcia wykresu z osią OyOy.

    1. f(x)=2x−8f(x) = 2x - 8
    2. f(x)=−3x+6f(x) = -3x + 6
    3. f(x)=12x+3f(x) = \tfrac12 x + 3
    4. f(x)=−34x−3f(x) = -\tfrac34 x - 3
    5. f(x)=2 x−2f(x) = \sqrt2\,x - 2
    6. f(x)=5f(x) = 5
    Odpowiedzi

    a) 44; (0, −8)(0,\,-8)   b) 22; (0, 6)(0,\,6)   c) −6-6; (0, 3)(0,\,3)   d) −4-4; (0, −3)(0,\,-3)   e) 2\sqrt2; (0, −2)(0,\,-2)   f) brak; (0, 5)(0,\,5)

  2. Podaj kąt nachylenia wykresu do osi OxOx.

    1. y=x+2y = x + 2
    2. y=3 x−1y = \sqrt3\,x - 1
    3. y=33xy = \tfrac{\sqrt3}{3}x
    4. y=−x+4y = -x + 4
    5. y=−3 xy = -\sqrt3\,x
    Odpowiedzi

    a) 45∘45^\circ   b) 60∘60^\circ   c) 30∘30^\circ   d) 135∘135^\circ   e) 120∘120^\circ

Poziom B · wzór z dwóch informacji

Zestawy B

2 zestawy

  1. Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez podane punkty.

    1. (0, 3)(0,\,3) i (2, 7)(2,\,7)
    2. (1, 4)(1,\,4) i (3, 0)(3,\,0)
    3. (−2, 1)(-2,\,1) i (4, 4)(4,\,4)
    4. (−3, 5)(-3,\,5) i (3, −3)(3,\,-3)
    5. (2, −1)(2,\,-1) i (5, −1)(5,\,-1)
    Odpowiedzi

    a) y=2x+3y = 2x + 3   b) y=−2x+6y = -2x + 6   c) y=12x+2y = \tfrac12 x + 2   d) y=−43x+1y = -\tfrac43 x + 1   e) y=−1y = -1

  2. Wyznacz wzór funkcji liniowej spełniającej warunki.

    1. miejsce zerowe −4-4, f(0)=−2f(0) = -2
    2. miejsce zerowe 22, f(0)=6f(0) = 6
    3. równoległa do y=4x−1y = 4x - 1, przez (−1, 2)(-1,\,2)
    4. kąt nachylenia 45∘45^\circ, przez (3, 1)(3,\,1)
    5. rosnąca o 55 przy wzroście xx o 22, f(0)=−1f(0) = -1
    Odpowiedzi

    a) y=−12x−2y = -\tfrac12 x - 2   b) y=−3x+6y = -3x + 6   c) y=4x+6y = 4x + 6   d) y=x−2y = x - 2   e) y=52x−1y = \tfrac52 x - 1

Poziom C · parametr i przesunięcia

Zestawy C

2 zestawy

  1. Wyznacz wszystkie wartości parametru.

    1. f(x)=(m−5)x+2f(x) = (m - 5)x + 2 jest rosnąca
    2. f(x)=(4−2m)x−mf(x) = (4 - 2m)x - m jest malejąca
    3. f(x)=(m2−9)x+mf(x) = (m^2 - 9)x + m jest stała
    4. f(x)=(2m+1)x+7f(x) = (2m + 1)x + 7 nie ma miejsca zerowego
    5. y=(m+3)x+1y = (m + 3)x + 1 i y=−2x+5y = -2x + 5 są równoległe
    6. f(x)=3x+m−4f(x) = 3x + m - 4 ma miejsce zerowe 22
    Odpowiedzi

    a) m>5m > 5   b) m>2m > 2   c) m=−3m = -3 albo m=3m = 3   d) m=−12m = -\tfrac12   e) m=−5m = -5   f) m=−2m = -2

  2. Podaj wzór funkcji gg po przesunięciu wykresu ff.

    1. f(x)=2xf(x) = 2x, o 33 w prawo
    2. f(x)=2xf(x) = 2x, o 33 w górę
    3. f(x)=−x+1f(x) = -x + 1, o 22 w lewo
    4. f(x)=13x−2f(x) = \tfrac13 x - 2, o 66 w prawo
    5. f(x)=4x+1f(x) = 4x + 1, o 11 w lewo i o 22 w dół
    Odpowiedzi

    a) g(x)=2x−6g(x) = 2x - 6   b) g(x)=2x+3g(x) = 2x + 3   c) g(x)=−x−1g(x) = -x - 1   d) g(x)=13x−4g(x) = \tfrac13 x - 4   e) g(x)=4x+3g(x) = 4x + 3

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu CKE: dokończ zdanie, P/F z dwoma zdaniami (1 punkt tylko za obie poprawne oceny) i krótkie zadanie otwarte.

Zadania w stylu arkusza

6 zadań · 7 pkt

  1. (0–1 pkt) Funkcja f(x)=(5−m)x+3f(x) = (5 - m)x + 3 nie ma miejsc zerowych dla

    A.m=−5m = -5B.m=−3m = -3C.m=3m = 3D.m=5m = 5
    Odpowiedź

    D.

    1. 5−m=05 - m = 0, a wyraz wolny 3≠03 \ne 0.
    2. m=5m = 5.

  2. (0–1 pkt) Wykresy funkcji f(x)=(3m−2)x+1f(x) = (3m - 2)x + 1 oraz g(x)=4x−3g(x) = 4x - 3 nie mają punktów wspólnych dla

    A.m=−2m = -2B.m=23m = \tfrac23C.m=2m = 2D.m=6m = 6
    Odpowiedź

    C.

    1. 3m−2=43m - 2 = 4, więc m=2m = 2.
    2. Wyrazy wolne 1≠−31 \ne -3: proste równoległe i różne.

  3. (0–1 pkt) Miejscem zerowym funkcji liniowej ff jest liczba 44, a f(0)=2f(0) = 2. Funkcja ff jest określona wzorem

    A.f(x)=2x−8f(x) = 2x - 8B.f(x)=−12x+2f(x) = -\tfrac12 x + 2C.f(x)=12x+2f(x) = \tfrac12 x + 2D.f(x)=−2x+4f(x) = -2x + 4
    Odpowiedź

    B.

    1. b=2b = 2
    2. 4a+2=04a + 2 = 0, więc a=−12a = -\tfrac12.

  4. (0–1 pkt) Prosta o równaniu y=−3 x+5y = -\sqrt3\,x + 5 jest nachylona do osi OxOx pod kątem

    A.30∘30^\circB.60∘60^\circC.120∘120^\circD.150∘150^\circ
    Odpowiedź

    C.

    1. tg⁡α=−3\operatorname{tg}\alpha = -\sqrt3
    2. α=180∘−60∘=120∘\alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ.

  5. (0–1 pkt) Wykres funkcji f(x)=ax+bf(x) = ax + b przechodzi przez punkty (0, −3)(0,\,-3) i (2, 0)(2,\,0). Oceń prawdziwość zdań.

    1. a<0a < 0 i b<0b < 0.   P   F
    2. Wykres wraz z osiami układu ogranicza trójkąt o polu 33.   P   F

    Odpowiedź

    FP.

    1. a=0−(−3)2−0=32>0a = \dfrac{0 - (-3)}{2 - 0} = \tfrac32 > 0, b=−3b = -3.
    2. Pole 12⋅2⋅3=3\tfrac12 \cdot 2 \cdot 3 = 3.

  6. (0–2 pkt) Wykres funkcji f(x)=−x+m2+2mf(x) = -x + m^2 + 2m przecina oś OyOy w punkcie (0, −1)(0,\,-1). Oblicz mm. Zapisz obliczenia.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Warunek. m2+2m=−1m^2 + 2m = -1.
    2. Równanie. m2+2m+1=0m^2 + 2m + 1 = 0, czyli (m+1)2=0(m + 1)^2 = 0.
    3. Wynik. m=−1m = -1.

    1 pkt za równanie m2+2m=−1m^2 + 2m = -1. 2 pkt za m=−1m = -1 z rozwiązaniem równania.