Drill: 3.6 Vieta's formulas and equations with a parameter · Mathematics and Physics from the Ground Up

Poziom A · wyrażenia symetryczne

Zestawy A

1 zestaw

Dla równania $x^2 - 3x - 2 = 0$ oblicz (bez wyznaczania pierwiastków).
1. $x_1 + x_2$ , $\ x_1x_2$
2. $x_1^2 + x_2^2$
3. $\dfrac1{x_1} + \dfrac1{x_2}$
4. $(x_1 - x_2)^2$
5. $x_1^3 + x_2^3$
6. $\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1}$
Odpowiedzi
a) $3$ ; $-2$ b) $13$ c) $-\tfrac32$ d) $17$ e) $45$ f) $-\tfrac{13}{2}$

Poziom B · warunki na parametr

Zestawy B

2 zestawy

Wyznacz $m$ , dla których równanie ma dwa różne pierwiastki.
1. $x^2 + 4x + m = 0$
2. $x^2 - mx + 9 = 0$
3. $mx^2 + 2x + 1 = 0$
4. $x^2 + 2mx + 3m - 2 = 0$
Odpowiedzi
a) $m < 4$ b) $m < -6$ albo $m > 6$ c) $m < 1$ , $m \ne 0$ d) $m < 1$ albo $m > 2$
Zapisz pełny układ warunków (bez rozwiązywania), dla $f(x) = x^2 + bx + c$ z $b$ , $c$ zależnymi od $m$ .
1. dwa różne dodatnie
2. różnych znaków
3. dwa różne, oba większe od $2$
4. $x_1 < -1 < x_2$
5. oba w $(0,\,3)$
Odpowiedzi
a) $\Delta > 0$ , $-b > 0$ , $c > 0$ b) $c < 0$ c) $\Delta > 0$ , $-\tfrac b2 > 2$ , $f(2) > 0$ d) $f(-1) < 0$ e) $\Delta > 0$ , $0 < -\tfrac b2 < 3$ , $f(0) > 0$ , $f(3) > 0$

Poziom C · pełne krótkie zadania

Zestawy C

1 zestaw

Wyznacz wszystkie $m$ .
1. $x^2 - 2x + m = 0$ , dwa różne, $x_1^2 + x_2^2 = 10$
2. $x^2 + (m - 2)x - 2m = 0$ , $|x_1 - x_2| = 5$
3. $x^2 - mx + m - 1 = 0$ , dwa różne dodatnie
4. $x^2 - 4x + m = 0$ , $x_1 = 3x_2$
5. $x^2 + mx + 1 = 0$ , $x_1^2 + x_2^2 > 7$ (dwa różne)
Odpowiedzi
a) $m = -3$ b) $m = -7$ albo $m = 3$ c) $m \in (1,\,2) \cup (2,\,+\infty)$ d) $m = 3$ e) $m < -3$ albo $m > 3$

Zadania maturalne

Forma jak w arkuszu rozszerzonym CKE. Punkty są przyznawane osobno za każdy etap: istnienie pierwiastków, znaki, warunek, część wspólna.

Zadania w stylu arkusza

2 zadania · 10 pkt

(0–5 pkt) Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie $x^2 + (m + 1)x + m = 0$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$ , $x_2$ spełniające warunek $x_1^3 + x_2^3 \le -9$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. $\Delta$ . $(m + 1)^2 - 4m = (m - 1)^2 > 0$ : $m \ne 1$ .
2. Viète. $s = -(m + 1)$ , $p = m$ .
3. Warunek. $s^3 - 3sp = -(m + 1)^3 + 3m(m + 1) = -(m + 1)(m^2 - m + 1) = -(m^3 + 1) \le -9$ , czyli $m^3 \ge 8$ , $m \ge 2$ .
4. Część wspólna. $m \in [2,\,+\infty)$ .
1 pkt za $\Delta > 0$ . 1 pkt za zapis $x_1^3 + x_2^3 = s^3 - 3sp$ . 2 pkt za nierówność $-(m^3 + 1) \le -9$ i jej rozwiązanie (1 pkt za nierówność, 1 pkt za $m \ge 2$ ). 1 pkt za część wspólną.

Uwaga: pierwiastki to $-1$ i $-m$ ; można też liczyć wprost: $-1 - m^3 \le -9$ .
(0–5 pkt) Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie $x^2 - 2mx + m + 6 = 0$ ma dwa różne pierwiastki, oba większe od $1$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. $\Delta$ . $\frac\Delta4 = m^2 - m - 6 = (m - 3)(m + 2) > 0$ : $m < -2$ albo $m > 3$ .
2. Wierzchołek. $x_w = m > 1$ .
3. $f(1)$ . $1 - 2m + m + 6 = 7 - m > 0$ : $m < 7$ .
4. Część wspólna. $m \in (3,\,7)$ .
1 pkt za $\Delta > 0$ . 1 pkt za warunek $x_w > 1$ . 1 pkt za $f(1) > 0$ . 1 pkt za rozwiązania warunków. 1 pkt za $m \in (3,\,7)$ .

Uwaga: zamiast $x_w$ i $f(1)$ można użyć $(x_1 - 1) + (x_2 - 1) > 0$ i $(x_1 - 1)(x_2 - 1) > 0$ : $2m - 2 > 0$ i $p - s + 1 = 7 - m > 0$ .