Drill: 3.5 Equations and inequalities with absolute value · Mathematics and Physics from the Ground Up

Poziom A · jeden moduł

Zestawy A

1 zestaw

Rozwiąż.
1. $|x + 2| = 5$
2. $|4 - x| < 3$
3. $|2x + 1| \ge 5$
4. $|x - 3| \le -1$
5. $|3x - 6| > 0$
6. $|x^2 - 2| = 2$
Odpowiedzi
a) $-7,\ 3$ b) $(1,\,7)$ c) $(-\infty,\,-3] \cup [2,\,+\infty)$ d) $\varnothing$ e) $\mathbb R \setminus \{2\}$ f) $0,\ \pm 2$

Poziom B · opuszczanie modułów

Zestawy B

1 zestaw

Zapisz bez modułów w podanym przedziale.
1. $|x - 1| + |x + 3|$ , $\ x < -3$
2. $|x - 1| + |x + 3|$ , $\ -3 \le x < 1$
3. $|x - 1| + |x + 3|$ , $\ x \ge 1$
4. $2|x + 1| - |x - 4|$ , $\ -1 \le x < 4$
5. $|2x - 6| - |x|$ , $\ 0 \le x < 3$
Odpowiedzi
a) $-2x - 2$ b) $4$ c) $2x + 2$ d) $3x - 2$ e) $6 - 3x$

Poziom C · dwa moduły i skróty

Zestawy C

2 zestawy

Rozwiąż metodą przedziałów.
1. $|x - 1| + |x + 3| = 10$
2. $|x - 1| + |x + 3| < 6$
3. $2|x + 1| - |x - 4| \ge 1$
4. $|x| - |x - 2| = 1$
5. $|x + 2| - |x - 2| > x$
Odpowiedzi
a) $-6,\ 4$ b) $(-4,\,2)$ c) $(-\infty,\,-7] \cup [1,\,+\infty)$ d) $\tfrac32$ e) $(-\infty,\,-4) \cup (0,\,4)$
Rozwiąż skrótem (wyłączenie albo kwadraty).
1. $|x - 2| < |x + 4|$
2. $|2x - 1| \ge |x + 1|$
3. $|5x - 10| - |2 - x| = 8$
4. $|x^2 - 1| \le |x - 1|$
Odpowiedzi
a) $(-1,\,+\infty)$ b) $(-\infty,\,0] \cup [2,\,+\infty)$ c) $0,\ 4$ d) $[-2,\,0] \cup \{1\}$

Zadania maturalne

Forma zadania jak w arkuszu rozszerzonym CKE: zadanie otwarte za 4 punkty, punktowane etapami (przedziały, opuszczenie modułów, rozwiązania z częścią wspólną, suma).

Zadania w stylu arkusza

3 zadania · 12 pkt

(0–4 pkt) Rozwiąż nierówność $|x + 3| - 2|x - 2| \le -4$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. $x < -3$ . $-(x + 3) + 2(x - 2) = x - 7 \le -4$ , $x \le 3$ : $(-\infty,\,-3)$ .
2. $-3 \le x < 2$ . $(x + 3) + 2(x - 2) = 3x - 1 \le -4$ , $x \le -1$ : $[-3,\,-1]$ .
3. $x \ge 2$ . $(x + 3) - 2(x - 2) = -x + 7 \le -4$ , $x \ge 11$ : $[11,\,+\infty)$ .
4. Suma. $x \in (-\infty,\,-1] \cup [11,\,+\infty)$ .
1 pkt za przedziały i jeden przedział bez modułów. 2 pkt za wszystkie trzy. 3 pkt za rozwiązania w dwóch przedziałach. 4 pkt za odpowiedź.
(0–4 pkt) Rozwiąż równanie $|2x - 4| + |x + 1| = |x - 2| + 5$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Wyłączenie. $2|x - 2| - |x - 2| = |x - 2|$ : $\ |x - 2| + |x + 1| = 5$ .
2. $x < -1$ . $-2x + 1 = 5$ , $x = -2$ ✓.
3. $-1 \le x < 2$ . $3 = 5$ : sprzeczność.
4. $x \ge 2$ . $2x - 1 = 5$ , $x = 3$ ✓.
5. Odpowiedź. $\{-2,\,3\}$ .
1 pkt za wyłączenie albo przedziały z jednym przedziałem bez modułów. 2 pkt za równania we wszystkich przedziałach. 3 pkt za rozwiązania w dwóch przedziałach. 4 pkt za odpowiedź.
(0–4 pkt) Rozwiąż nierówność $|x^2 - 4x| < |2x - 8|$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Czynnik wspólny. $|x|\,|x - 4| < 2|x - 4|$ .
2. $x = 4$ . $0 < 0$ : fałsz.
3. $x \ne 4$ . $|x| < 2$ : $-2 < x < 2$ .
4. Odpowiedź. $x \in (-2,\,2)$ .
1 pkt za rozkład obu stron. 2 pkt za zbadanie $x = 4$ . 3 pkt za $|x| < 2$ . 4 pkt za odpowiedź.