Trening: nierówności wielomianowe i równania dwukwadratowe

a) $(-\infty,\,-2) \cup (1,\,4)$   b) $(-\infty,\,-3] \cup [0,\,2]$   c) $(-\infty,\,3]$   d) $(-\infty,\,-1) \cup (-1,\,3)$   e) $(-\infty,\,-1) \cup (5,\,+\infty)$   f) $[2,\,+\infty)$

a) $[-2,\,0] \cup [2,\,+\infty)$   b) $(-\infty,\,-3) \cup (-1,\,1)$   c) $(0,\,3) \cup (3,\,+\infty)$   d) $(-\infty,\,-3] \cup [1,\,2]$   e) $(-2,\,2)$   f) $[-2,\,\tfrac12] \cup [2,\,+\infty)$

a) $\pm 2,\ \pm 3$   b) $\pm 1$   c) brak rozwiązań   d) $0,\ \pm\sqrt3$   e) $(-\infty,\,-2] \cup [-1,\,1] \cup [2,\,+\infty)$

a) $4$   b) $2$   c) $3$   d) $2$   e) $0$

1. Pierwiastek. $W(-1) = -1 - 5 - 3 + 9 = 0$.
2. Rozkład. Horner przez $x + 1$: $1$; $-6$; $9$; $0$, czyli $(x + 1)(x^2 - 6x + 9) = (x + 1)(x - 3)^2$.
3. Wynik. $x > -1$ i $x \ne 3$: $(-1,\,3) \cup (3,\,+\infty)$.

1 pkt za pierwiastek $-1$. 2 pkt za rozkład. 3 pkt za zbiór z wykluczonym $3$.

1. Rozkład. $x^2(x^2 - 3x - 4) = x^2(x - 4)(x + 1)$.
2. Znak. dla $x \ne 0$ znak to znak $(x - 4)(x + 1)$: ujemny na $(-1,\,4)$.
3. Wynik. $[-1,\,4]$ (liczba $0$ już w nim jest).

1 pkt za wyłączenie $x^2$. 2 pkt za pełny rozkład i układ znaków. 3 pkt za $[-1,\,4]$.

1. Podstawienie. $t^2 + (2m - 4)t + m(m - 4) = 0$, czyli $(t + m)(t + m - 4) = 0$: $t = -m$ albo $t = 4 - m$.
2. Trzy rozwiązania. jedno $t$ równe $0$, drugie dodatnie.
3. Przypadki. $-m = 0$: $m = 0$, wtedy $t = 4 > 0$ ✓. $\ 4 - m = 0$: $m = 4$, wtedy $t = -4 < 0$ ✗.
4. Wynik. $m = 0$ (rozwiązania $0$, $\pm 2$).

1 pkt za równanie w $t$. 2 pkt za $t = -m$, $t = 4 - m$. 3 pkt za warunek „jedno $t = 0$, drugie $t > 0$”. 4 pkt za $m = 0$.