Mathematics and Physics from the Ground Up
PLEN

Matura in mathematics › 3.1 Linear equations and inequalities, equivalent transformations › Drill

Matura · poziom podstawowy · trening 3.1

Trening: równania i nierówności liniowe

Zestawy krótkich przykładów do lekcji 3.1 Równania i nierówności liniowe, przekształcenia równoważne: równania z ułamkami, nierówności z dzieleniem przez liczbę ujemną, najmniejsza i największa liczba całkowita, równania sprzeczne i tożsamościowe oraz proste równania wymierne. Na końcu zadania w stylu arkusza.

Poziom A · równania

Zestawy A

1 zestaw

  1. Rozwiąż równanie.

    1. 5x−7=2x+85x - 7 = 2x + 8
    2. 2(3−x)=4x−92(3 - x) = 4x - 9
    3. x−13=x+25\dfrac{x - 1}{3} = \dfrac{x + 2}{5}
    4. x4−x−23=1\dfrac{x}{4} - \dfrac{x - 2}{3} = 1
    5. 1−2x−15=x21 - \dfrac{2x - 1}{5} = \dfrac{x}{2}
    6. 2 x−2=x\sqrt2\,x - 2 = x
    Odpowiedzi

    a) 55   b) 52\tfrac52   c) 112\tfrac{11}{2}   d) −4-4   e) 43\tfrac43   f) 22+22\sqrt2 + 2

Poziom B · nierówności

Zestawy B

2 zestawy

  1. Rozwiąż nierówność.

    1. 3−2x>73 - 2x > 7
    2. 4x+1≤6x−54x + 1 \le 6x - 5
    3. 2−x3≥1\dfrac{2 - x}{3} \ge 1
    4. x+12−x3<1\dfrac{x + 1}{2} - \dfrac{x}{3} < 1
    5. −3x4≥x−72-\dfrac{3x}{4} \ge \dfrac{x - 7}{2}
    Odpowiedzi

    a) (−∞, −2)(-\infty,\,-2)   b) [3, +∞)[3,\,+\infty)   c) (−∞, −1](-\infty,\,-1]   d) (−∞, 3)(-\infty,\,3)   e) (−∞, 145](-\infty,\,\tfrac{14}{5}]

  2. Podaj największą (N) albo najmniejszą (M) liczbę całkowitą spełniającą nierówność.

    1. N: 7−1−3x2≥4x7 - \dfrac{1 - 3x}{2} \ge 4x
    2. M: 4+3x5≥110\dfrac{4 + 3x}{5} \ge \dfrac{1}{10}
    3. N: 2(x−3)<x22(x - 3) < \dfrac{x}{2}
    4. M: 1−3x<81 - 3x < 8
    5. N: x3+x6≤5\dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{6} \le \sqrt5
    Odpowiedzi

    a) 22   b) −1-1   c) 33   d) −2-2   e) 44

Poziom C · sprzeczność, tożsamość, równania wymierne

Zestawy C

2 zestawy

  1. Podaj zbiór rozwiązań.

    1. 3(x−2)=3x−63(x - 2) = 3x - 6
    2. 2x+1=2(x+1)2x + 1 = 2(x + 1)
    3. 4−(x−1)≥5−x4 - (x - 1) \ge 5 - x
    4. (m−1)x=2(m - 1)x = 2 dla m=1m = 1
    Odpowiedzi

    a) R\mathbb R   b) ∅\varnothing   c) R\mathbb R   d) ∅\varnothing

  2. Zapisz założenie i rozwiąż.

    1. 3x−2=1\dfrac{3}{x - 2} = 1
    2. x+1x−3=2\dfrac{x + 1}{x - 3} = 2
    3. 2x−1x+4=35\dfrac{2x - 1}{x + 4} = \dfrac{3}{5}
    4. xx−1=1x−1\dfrac{x}{x - 1} = \dfrac{1}{x - 1}
    5. x−42x+2=x+1x+1\dfrac{x - 4}{2x + 2} = \dfrac{x + 1}{x + 1}
    Odpowiedzi

    a) x≠2x \ne 2; x=5x = 5   b) x≠3x \ne 3; x=7x = 7   c) x≠−4x \ne -4; x=177x = \tfrac{17}{7}   d) x≠1x \ne 1; brak rozwiązań   e) x≠−1x \ne -1; x=−6x = -6

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu CKE: dokończ zdanie i zadanie otwarte z równaniem wymiernym, w którym założenie jest punktowane osobno.

Zadania w stylu arkusza

5 zadań · 7 pkt

  1. (0–1 pkt) Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność 5+3x4≥18\dfrac{5 + 3x}{4} \ge \dfrac{1}{8} jest

    A.−2-2B.−1-1C.00D.11
    Odpowiedź

    B.

    1. 2(5+3x)≥12(5 + 3x) \ge 1
    2. 6x≥−96x \ge -9, x≥−32x \ge -\tfrac32.
    3. Najmniejsza całkowita: −1-1.

  2. (0–1 pkt) Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 2−x≥3x+252 - x \ge \dfrac{3x + 2}{5} jest przedział

    A.(−∞, 1](-\infty,\,1]B.[1, +∞)[1,\,+\infty)C.(−∞, 32](-\infty,\,\tfrac32]D.[32, +∞)[\tfrac32,\,+\infty)
    Odpowiedź

    A.

    1. 10−5x≥3x+210 - 5x \ge 3x + 2
    2. −8x≥−8-8x \ge -8, więc x≤1x \le 1.

  3. (0–1 pkt) Rozwiązaniem równania x+14x−3=23\dfrac{x + 1}{4x - 3} = \dfrac{2}{3} jest liczba

    A.−35-\tfrac35B.34\tfrac34C.95\tfrac95D.99
    Odpowiedź

    C.

    1. 3(x+1)=2(4x−3)3(x + 1) = 2(4x - 3)
    2. 3x+3=8x−63x + 3 = 8x - 6, więc 5x=95x = 9.

  4. (0–1 pkt) Równanie 3(x−a)=3x−123(x - a) = 3x - 12 jest tożsamościowe dla

    A.a=−4a = -4B.a=0a = 0C.a=4a = 4D.a=12a = 12
    Odpowiedź

    C.

    1. 3x−3a=3x−123x - 3a = 3x - 12 dla każdego xx   ⟺  3a=12\iff 3a = 12.

  5. (0–3 pkt) Rozwiąż równanie x−2x+3=3x3x+9\dfrac{x - 2}{x + 3} = \dfrac{3x}{3x + 9}. Zapisz konieczne założenie.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Założenie. x≠−3x \ne -3.
    2. Przekształcenie. 3x+9=3(x+3)3x + 9 = 3(x + 3); mnożymy przez 3(x+3)3(x + 3): 3(x−2)=3x3(x - 2) = 3x.
    3. Wynik. −6=0-6 = 0: sprzeczność, brak rozwiązań.

    1 pkt za założenie ALBO za równanie liniowe. 2 pkt za oba. 3 pkt za stwierdzenie braku rozwiązań.