Mathematics and Physics from the Ground Up
PLEN

Matura in mathematics › 2.1 Special products and rational expressions › Drill

Matura · poziom podstawowy · trening 2.1

Trening: wzory skróconego mnożenia i wyrażenia wymierne

Zestawy krótkich przykładów do lekcji 2.1 Wzory skróconego mnożenia i wyrażenia wymierne: rozwijanie i zwijanie wzorów, rozkład na czynniki, wartości wyrażeń dla liczb z pierwiastkami oraz mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych. Na końcu zadania w stylu arkusza.

Poziom A · wzory

Zestawy A

2 zestawy

  1. Rozwiń i uprość.

    1. (x+4)2(x + 4)^2
    2. (3−2y)2(3 - 2y)^2
    3. (5+1)2(\sqrt5 + 1)^2
    4. (2x−3)(2x+3)(2x - \sqrt3)(2x + \sqrt3)
    5. (x+1)2−(x−1)2(x + 1)^2 - (x - 1)^2
    6. (a+2)2−(a+2)(a−2)(a + 2)^2 - (a + 2)(a - 2)
    Odpowiedzi

    a) x2+8x+16x^2 + 8x + 16   b) 9−12y+4y29 - 12y + 4y^2   c) 6+256 + 2\sqrt5   d) 4x2−34x^2 - 3   e) 4x4x   f) 4a+84a + 8

  2. Zapisz jako kwadrat albo iloczyn.

    1. x2−10x+25x^2 - 10x + 25
    2. 4x2+12x+94x^2 + 12x + 9
    3. 9x2−169x^2 - 16
    4. x2−22 x+2x^2 - 2\sqrt2\,x + 2
    5. 25−4y225 - 4y^2
    Odpowiedzi

    a) (x−5)2(x - 5)^2   b) (2x+3)2(2x + 3)^2   c) (3x−4)(3x+4)(3x - 4)(3x + 4)   d) (x−2)2(x - \sqrt2)^2   e) (5−2y)(5+2y)(5 - 2y)(5 + 2y)

Poziom B · rozkład i wartości

Zestawy B

2 zestawy

  1. Rozłóż na czynniki.

    1. 3x2−123x^2 - 12
    2. x3−10x2+25xx^3 - 10x^2 + 25x
    3. x4−x2x^4 - x^2
    4. x3+x2−9x−9x^3 + x^2 - 9x - 9
    5. 2x3−8x2x^3 - 8x
    Odpowiedzi

    a) 3(x−2)(x+2)3(x - 2)(x + 2)   b) x(x−5)2x(x - 5)^2   c) x2(x−1)(x+1)x^2(x - 1)(x + 1)   d) (x+1)(x−3)(x+3)(x + 1)(x - 3)(x + 3)   e) 2x(x−2)(x+2)2x(x - 2)(x + 2)

  2. Oblicz wartość wyrażenia (najpierw je zwiń).

    1. x2+8x+16x^2 + 8x + 16 dla x=3−4x = \sqrt3 - 4
    2. 4x2−4x+14x^2 - 4x + 1 dla x=1+22x = \frac{1 + \sqrt2}{2}
    3. x2−9x^2 - 9 dla x=10x = \sqrt{10}
    4. x2−2xy+y2x^2 - 2xy + y^2 dla x=5+1x = \sqrt5 + 1, y=5−1y = \sqrt5 - 1
    Odpowiedzi

    a) 33   b) 22   c) 11   d) 44

Poziom C · wyrażenia wymierne

Zestawy C

1 zestaw

  1. Uprość i podaj, dla jakich xx wyrażenie ma sens.

    1. x2−16x2−4x\dfrac{x^2 - 16}{x^2 - 4x}
    2. x2+6x+92x+6\dfrac{x^2 + 6x + 9}{2x + 6}
    3. x2−1x+1⋅1x−1\dfrac{x^2 - 1}{x + 1}\cdot\dfrac{1}{x - 1}
    4. 5xx2−9:10x−3\dfrac{5x}{x^2 - 9} : \dfrac{10}{x - 3}
    5. x2−xx+2⋅x2−4x2−1\dfrac{x^2 - x}{x + 2}\cdot\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 1}
    Wskazówka

    Najpierw rozłóż każdy licznik i mianownik na czynniki, zapisz dziedzinę z mianowników (przy dzieleniu także z licznika dzielnika), dopiero potem skracaj.

    Odpowiedzi

    a) x+4x\dfrac{x + 4}{x}; x≠0x \ne 0, x≠4x \ne 4   b) x+32\dfrac{x + 3}{2}; x≠−3x \ne -3   c) 11; x≠±1x \ne \pm1   d) x2(x+3)\dfrac{x}{2(x + 3)}; x≠±3x \ne \pm3   e) x(x−2)x+1\dfrac{x(x - 2)}{x + 1}; x≠−2x \ne -2, x≠±1x \ne \pm1

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu CKE. W zadaniach zamkniętych: dokończ zdanie, wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. W zadaniu „wybierz dwie” punktowane są dwie poprawne litery; trzy zaznaczone litery to 0 punktów.

Zadania w stylu arkusza

9 zadań · 12 pkt

  1. (0–1 pkt) Dla każdej liczby rzeczywistej xx wyrażenie (x−3)2−(x+3)2(x - 3)^2 - (x + 3)^2 jest równe

    A.−12x-12xB.00C.−18-18D.2x2+182x^2 + 18
    Odpowiedź

    A.

    1. x2−6x+9−(x2+6x+9)x^2 - 6x + 9 - (x^2 + 6x + 9)
    2. =−12x= -12x.

  2. (0–1 pkt) Liczba (7−2)2(\sqrt7 - \sqrt2)^2 jest równa

    A.9−2149 - 2\sqrt{14}B.55C.99D.5−2145 - 2\sqrt{14}
    Odpowiedź

    A.

    1. 7−214+27 - 2\sqrt{14} + 2
    2. =9−214= 9 - 2\sqrt{14}.
    3. B to (7)2−(2)2(\sqrt7)^2 - (\sqrt2)^2, czyli błąd (a−b)2=a2−b2(a - b)^2 = a^2 - b^2.

  3. (0–1 pkt) Wartość wyrażenia x2+4x+4x^2 + 4x + 4 dla x=5−2x = \sqrt5 - 2 jest równa

    A.55B.5\sqrt5C.9−459 - 4\sqrt5D.11
    Odpowiedź

    A.

    1. (x+2)2(x + 2)^2
    2. =(5)2=5= (\sqrt5)^2 = 5.

  4. (0–1 pkt) Wielomian x3+6x2+9xx^3 + 6x^2 + 9x jest równy

    A.x(x+3)2x(x + 3)^2B.x(x−3)2x(x - 3)^2C.x(x+9)2x(x + 9)^2D.(x+3)3(x + 3)^3
    Odpowiedź

    A.

    1. x(x2+6x+9)x(x^2 + 6x + 9)
    2. =x(x+3)2= x(x + 3)^2.

  5. (0–1 pkt) Dla każdej liczby x∉{−4,0,4}x \notin \{-4, 0, 4\} wyrażenie x2−4xx2−16:xx+4\dfrac{x^2 - 4x}{x^2 - 16} : \dfrac{x}{x + 4} jest równe

    A.11B.xxC.1x+4\dfrac{1}{x + 4}D.x−4x\dfrac{x - 4}{x}
    Odpowiedź

    A.

    1. x(x−4)(x−4)(x+4)⋅x+4x\dfrac{x(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)}\cdot\dfrac{x + 4}{x}
    2. =1= 1.

  6. (0–2 pkt) Wybierz dwa wyrażenia, które dla każdej liczby rzeczywistej xx są równe (x−1)2(x - 1)^2.

    A.x2−2x+1x^2 - 2x + 1B.x2+1x^2 + 1C.(1−x)2(1 - x)^2D.x2−1x^2 - 1E.1−x21 - x^2F.(x+1)2(x + 1)^2
    Odpowiedź i punktacja

    A, C.

    1. (1−x)2=(−(x−1))2=(x−1)2(1 - x)^2 = (-(x - 1))^2 = (x - 1)^2.
    2. B to a2+b2a^2 + b^2, D to różnica kwadratów.

    2 pkt za dwie poprawne litery, 1 pkt za jedną poprawną (gdy wybrano jedną albo dwie litery).

  7. (0–1 pkt) Uzupełnij zdanie. Iloczyn 99⋅10199\cdot 101 jest równy  ……… .

    Odpowiedź

    99999999

    1. (100−1)(100+1)=10 000−1(100 - 1)(100 + 1) = 10\,000 - 1.

  8. (0–2 pkt) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej xx prawdziwa jest równość (x+3)2−(x−1)(x+7)=16(x + 3)^2 - (x - 1)(x + 7) = 16.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Rozwinięcie. (x+3)2=x2+6x+9(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9,  (x−1)(x+7)=x2+6x−7\ (x - 1)(x + 7) = x^2 + 6x - 7.
    2. Różnica. x2+6x+9−x2−6x+7=16x^2 + 6x + 9 - x^2 - 6x + 7 = 16, co kończy dowód.

    1 pkt za poprawne rozwinięcie obu wyrażeń. 2 pkt za doprowadzenie do 1616.

    Uwaga: sprawdzenie równości dla kilku liczb to 0 pkt.

  9. (0–2 pkt) Oblicz wartość wyrażenia x2−9x2−6x+9\dfrac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9} dla x=3+2x = 3 + \sqrt2. Zapisz obliczenia.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Uproszczenie. (x−3)(x+3)(x−3)2=x+3x−3(x≠3).\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)^2} = \frac{x + 3}{x - 3}\qquad (x \ne 3).
    2. Podstawienie. 6+22\dfrac{6 + \sqrt2}{\sqrt2}.
    3. Wynik. 62+1=32+1\dfrac{6}{\sqrt2} + 1 = 3\sqrt2 + 1.

    1 pkt za uproszczenie albo poprawne podstawienie. 2 pkt za wynik 32+13\sqrt2 + 1.