Mathematics and Physics from the Ground Up
PLEN

Matura in mathematics › 13.4 Optimisation with the derivative › Drill

Matura · poziom rozszerzony · trening 13.4

Trening: optymalizacja z pochodną

Zestawy krótkich przykładów do lekcji 13.4 Zadania optymalizacyjne z pochodną: budowanie wzoru funkcji z dziedziną, pochodna i jej zera w dziedzinie, krótkie zadania optymalizacyjne. Na końcu wiązka w stylu arkusza rozszerzonego.

Poziom A · wzór funkcji i dziedzina

Zestawy A

1 zestaw

  1. Zapisz badaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej i podaj dziedzinę.

    1. pole prostokąta o obwodzie 2020 i boku xx
    2. pole całkowite walca o objętości 54π54\pi i promieniu rr
    3. objętość pudełka z kwadratowego arkusza 12×1212 \times 12 po wycięciu kwadratów xx w rogach
    Odpowiedzi

    a) P(x)=x(10−x)P(x) = x(10 - x),  x∈(0,10)\ x \in (0, 10)   b) P(r)=2πr2+108πrP(r) = 2\pi r^2 + \frac{108\pi}{r},  r>0\ r > 0   c) V(x)=x(12−2x)2V(x) = x(12 - 2x)^2,  x∈(0,6)\ x \in (0, 6)

Poziom B · pochodna i optimum

Zestawy B

1 zestaw

  1. Dla funkcji z poziomu A wyznacz optimum.

    1. P(x)=x(10−x)P(x) = x(10 - x): największe pole
    2. P(r)=2πr2+108πrP(r) = 2\pi r^2 + \frac{108\pi}{r}: najmniejsze pole
    3. V(x)=x(12−2x)2V(x) = x(12 - 2x)^2: największa objętość
    Odpowiedzi

    a) x=5x = 5, P=25P = 25   b) r=3r = 3, P=54πP = 54\pi   c) V′=(12−2x)(12−6x)V' = (12 - 2x)(12 - 6x):  x=2\ x = 2, V=128V = 128

Poziom C · krótkie zadania

Zestawy C

1 zestaw

  1. Rozwiąż.

    1. x,y>0x, y > 0, x+2y=12x + 2y = 12: największe xyxy
    2. najmniejsza wartość x2+16xx^2 + \frac{16}{x} dla x>0x > 0
    3. najmniejsza odległość punktu (3,0)(3, 0) od wykresu y=xy = \sqrt x
    Odpowiedzi

    a) y(12−2y)y(12 - 2y):  y=3\ y = 3, x=6x = 6,  18\ 18   b) x=2x = 2:  12\ 12   c) d2=x2−5x+9d^2 = x^2 - 5x + 9:  x=52\ x = \frac52, d=112d = \frac{\sqrt{11}}{2}

Zadania maturalne

Forma jak w arkuszu rozszerzonym CKE: wiązka „wykaż wzór” i „wyznacz optimum”.

Zadanie w stylu arkusza

1 zadanie · 6 pkt

  1. (0–6 pkt) Rozpatrujemy wszystkie stożki o tworzącej długości 66.

    1. (0–2 pkt) Wykaż, że objętość stożka o wysokości hh wyraża się wzorem V(h)=π3(36h−h3)V(h) = \frac\pi3(36h - h^3) dla h∈(0,6)h \in (0, 6).

    2. (0–4 pkt) Wyznacz wysokość stożka o największej objętości i tę objętość.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. 1. Więź. r2+h2=36r^2 + h^2 = 36,  r2=36−h2\ r^2 = 36 - h^2; h∈(0,6)h \in (0, 6), bo r>0r > 0.
    2. 1. Wzór. V=13π(36−h2)h=π3(36h−h3)V = \frac13\pi(36 - h^2)h = \frac\pi3(36h - h^3).
    3. 2. Pochodna. V′(h)=π3(36−3h2)=π(12−h2)V'(h) = \frac\pi3(36 - 3h^2) = \pi(12 - h^2).
    4. 2. Zero. w (0,6)(0, 6): h=23h = 2\sqrt3.
    5. 2. Uzasadnienie. V′>0V' > 0 w (0,23)(0, 2\sqrt3), V′<0V' < 0 w (23,6)(2\sqrt3, 6): maksimum.
    6. 2. Odpowiedź. h=23h = 2\sqrt3,  V=π3(723−243)=163 π\ V = \frac\pi3(72\sqrt3 - 24\sqrt3) = 16\sqrt3\,\pi.

    Część 1: 1 pkt za r2=36−h2r^2 = 36 - h^2, 2 pkt za wzór z dziedziną. Część 2: 1 pkt za pochodną, 2 pkt za h=23h = 2\sqrt3, 3 pkt za uzasadnienie, 4 pkt za V=163 πV = 16\sqrt3\,\pi.