Mathematics and Physics from the Ground Up
PLEN

Matura in mathematics › 13.2 The derivative: definition, meaning and computation › Drill

Matura · poziom rozszerzony · trening 13.2

Trening: pochodna

Zestawy krótkich przykładów do lekcji 13.2 Pochodna: definicja, interpretacja i obliczanie: pochodne potęg, iloczynu, ilorazu i złożenia, styczne, definicja i prędkość. Na końcu zadania w stylu arkusza rozszerzonego.

Poziom A · potęgi i suma

Zestawy A

1 zestaw

  1. Oblicz pochodną.

    1. 5x35x^3
    2. x4−2x+1x^4 - 2x + 1
    3. x\sqrt x
    4. 3x\frac3x
    5. x−2x^{-2}
    6. x2x3x^2\sqrt[3]{x}
    Odpowiedzi

    a) 15x215x^2   b) 4x3−24x^3 - 2   c) 12x\frac{1}{2\sqrt x}   d) −3x2-\frac{3}{x^2}   e) −2x−3-2x^{-3}   f) x7/3x^{7/3}:  73x4/3\ \frac73x^{4/3}

Poziom B · iloczyn, iloraz, złożenie

Zestawy B

1 zestaw

  1. Oblicz pochodną.

    1. x2(x−1)x^2(x - 1)
    2. x+1x−1\frac{x + 1}{x - 1}
    3. xx2+1\frac{x}{x^2 + 1}
    4. (x2+1)3(x^2 + 1)^3
    5. 2x+1\sqrt{2x + 1}
    6. 1x2+4\frac{1}{x^2 + 4}
    Odpowiedzi

    a) 3x2−2x3x^2 - 2x   b) −2(x−1)2-\frac{2}{(x - 1)^2}   c) 1−x2(x2+1)2\frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}   d) 6x(x2+1)26x(x^2 + 1)^2   e) 12x+1\frac{1}{\sqrt{2x + 1}}   f) −2x(x2+4)2-\frac{2x}{(x^2 + 4)^2}

Poziom C · styczna

Zestawy C

1 zestaw

  1. Wyznacz.

    1. styczna do x2x^2 w x0=1x_0 = 1
    2. styczna do x3x^3 w x0=−1x_0 = -1
    3. styczna do x\sqrt x w x0=4x_0 = 4
    4. punkt wykresu x2+2xx^2 + 2x z poziomą styczną
    Odpowiedzi

    a) y=2x−1y = 2x - 1   b) y=3x+2y = 3x + 2   c) y=14x+1y = \frac14x + 1   d) (−1,−1)(-1, -1)

Poziom D · definicja i prędkość

Zestawy D

1 zestaw

  1. Oblicz.

    1. f′(5)f'(5) z definicji dla f(x)=x2f(x) = x^2
    2. prędkość w chwili t=3t = 3 dla s(t)=4t2s(t) = 4t^2
    3. f′(x0)f'(x_0) dla f(x)=3x+2f(x) = 3x + 2
    Odpowiedzi

    a) 10h+h2h→10\frac{10h + h^2}{h} \to 10   b) 2424   c) 33 dla każdego x0x_0

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu rozszerzonym CKE: zadania otwarte z punktowanymi etapami.

Zadania w stylu arkusza

2 zadania · 6 pkt

  1. (0–3 pkt) Funkcja ff jest określona wzorem f(x)=x2+axx−2f(x) = \frac{x^2 + ax}{x - 2} dla x≠2x \ne 2. Wyznacz aa, dla którego f′(3)=−5f'(3) = -5.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Pochodna. f′(x)=(2x+a)(x−2)−(x2+ax)(x−2)2=x2−4x−2a(x−2)2f'(x) = \frac{(2x + a)(x - 2) - (x^2 + ax)}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x - 2a}{(x - 2)^2}.
    2. Równanie. f′(3)=9−12−2a=−3−2a=−5f'(3) = 9 - 12 - 2a = -3 - 2a = -5.
    3. Wynik. a=1a = 1.

    1 pkt za pochodną. 2 pkt za równanie. 3 pkt za a=1a = 1.

  2. (0–3 pkt) Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2 w punkcie o odciętej 11 oraz punkt przecięcia tej stycznej z osią OxOx.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Wartości. f(1)=−2f(1) = -2;  f′(x)=3x2−6x\ f'(x) = 3x^2 - 6x,  f′(1)=−3\ f'(1) = -3.
    2. Styczna. y=−3(x−1)−2=−3x+1y = -3(x - 1) - 2 = -3x + 1.
    3. Oś Ox. −3x+1=0-3x + 1 = 0:  (13,0)\ \left(\frac13, 0\right).

    1 pkt za f′(1)=−3f'(1) = -3. 2 pkt za równanie stycznej. 3 pkt za punkt (13,0)\left(\frac13, 0\right).