Mathematics and Physics from the Ground Up
PLEN

Matura in mathematics › 1.2 Powers and roots › Drill

Matura · poziom podstawowy · trening 1.2

Trening: potęgi i pierwiastki

Zestawy krótkich przykładów do lekcji 1.2 Potęgi i pierwiastki: wspólna podstawa, potęgi o wykładniku ujemnym, wyłączanie czynnika spod pierwiastka, usuwanie niewymierności z mianownika, potęgi o wykładniku wymiernym i notacja wykładnicza. Na końcu zadania w stylu arkusza maturalnego.

Poziom A · potęgi

Zestawy A

2 zestawy

  1. Zapisz jako jedną potęgę liczby 22, 33 albo 55.

    1. 43⋅84^3\cdot 8
    2. 272:9−127^2 : 9^{-1}
    3. 25−2⋅12525^{-2}\cdot 125
    4. (18)−2\left(\frac18\right)^{-2}
    5. 163322\dfrac{16^3}{32^2}
    6. 0,2−30{,}2^{-3}
    Wskazówka

    4=224 = 2^2, 8=238 = 2^3, 16=2416 = 2^4, 32=2532 = 2^5, 9=329 = 3^2, 27=3327 = 3^3, 25=5225 = 5^2, 125=53125 = 5^3, 0,2=15=5−10{,}2 = \frac15 = 5^{-1}.

    Odpowiedzi

    a) 292^9   b) 383^8   c) 5−15^{-1}   d) 262^6   e) 222^2   f) 535^3

  2. Oblicz.

    1. 2−3+4−12^{-3} + 4^{-1}
    2. (23)−2\left(\frac23\right)^{-2}
    3. 50−5−15^0 - 5^{-1}
    4. (−3)−3(-3)^{-3}
    5. 10−2⋅10510^{-2}\cdot 10^5
    6. (34⋅3−6)−1\left(3^4\cdot 3^{-6}\right)^{-1}
    Odpowiedzi

    a) 38\frac38   b) 94\frac94   c) 45\frac45   d) −127-\frac{1}{27}   e) 10001000   f) 99

Poziom B · pierwiastki

Zestawy B

2 zestawy

  1. Oblicz albo uprość.

    1. 48\sqrt{48}
    2. −403\sqrt[3]{-40}
    3. 12+27\sqrt{12} + \sqrt{27}
    4. 163+543\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{54}
    5. (8−2)2(\sqrt8 - \sqrt2)^2
    6. 19+116\sqrt{\frac19 + \frac{1}{16}}
    Odpowiedzi

    a) 434\sqrt3   b) −253-2\sqrt[3]{5}   c) 535\sqrt3   d) 5235\sqrt[3]{2}   e) 22   f) 512\frac{5}{12}

  2. Usuń niewymierność z mianownika.

    1. 33\dfrac{3}{\sqrt3}
    2. 62\dfrac{6}{\sqrt2}
    3. 13−1\dfrac{1}{\sqrt3 - 1}
    4. 43+5\dfrac{4}{3 + \sqrt5}
    5. 22+1\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2 + 1}
    Wskazówka

    Mianownik a+ba + \sqrt b mnóż przez a−ba - \sqrt b: (a+b)(a−b)=a2−b(a + \sqrt b)(a - \sqrt b) = a^2 - b.

    Odpowiedzi

    a) 3\sqrt3   b) 323\sqrt2   c) 3+12\dfrac{\sqrt3 + 1}{2}   d) 3−53 - \sqrt5   e) 2−22 - \sqrt2

Poziom C · wykładniki wymierne i notacja wykładnicza

Zestawy C

2 zestawy

  1. Oblicz albo zapisz jako potęgę podanej liczby.

    1. 8238^{\frac23}
    2. 813481^{\frac34}
    3. 32−2532^{-\frac25}
    4. 553\sqrt[3]{5\sqrt5} (potęga 55)
    5. 243\sqrt{2\sqrt[3]{4}} (potęga 22)
    6. 274⋅34\sqrt[4]{27}\cdot\sqrt[4]{3}
    Odpowiedzi

    a) 44   b) 2727   c) 14\frac14   d) 5125^{\frac12}   e) 2562^{\frac56}   f) 33

  2. Zapisz wynik w notacji wykładniczej.

    1. 0,000320{,}00032
    2. 450 000450\,000
    3. (2⋅10−3)⋅(7⋅105)(2\cdot 10^{-3})\cdot(7\cdot 10^{5})
    4. (9⋅104):(3⋅10−2)(9\cdot 10^{4}) : (3\cdot 10^{-2})
    5. (5⋅103)2(5\cdot 10^{3})^2
    Odpowiedzi

    a) 3,2⋅10−43{,}2\cdot 10^{-4}   b) 4,5⋅1054{,}5\cdot 10^{5}   c) 1,4⋅1031{,}4\cdot 10^{3}   d) 3⋅1063\cdot 10^{6}   e) 2,5⋅1072{,}5\cdot 10^{7}

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu CKE. W zadaniach zamkniętych: dokończ zdanie, wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. W zadaniach „prawda/fałsz” punkt jest tylko za obie oceny poprawne. W zadaniach otwartych zapisz obliczenia.

Zadania w stylu arkusza

9 zadań · 11 pkt

  1. (0–1 pkt) Liczba 509⋅2−3−1\sqrt{\dfrac{50}{9}}\cdot\sqrt2 - 3^{-1} jest równa

    A.33B.103\dfrac{10}{3}C.113\dfrac{11}{3}D.99
    Odpowiedź

    A.

    1. 1009=103\sqrt{\frac{100}{9}} = \frac{10}{3}
    2. 103−13=3\frac{10}{3} - \frac13 = 3.

  2. (0–1 pkt) Liczba 220+221+2227⋅220\dfrac{2^{20} + 2^{21} + 2^{22}}{7\cdot 2^{20}} jest równa

    A.11B.2437\dfrac{2^{43}}{7}C.222^2D.77
    Odpowiedź

    A.

    1. 220(1+2+4)=7⋅2202^{20}(1 + 2 + 4) = 7\cdot 2^{20}
    2. Iloraz 11.

  3. (0–1 pkt) Liczba 4−3⋅824^{-3}\cdot 8^2 jest równa

    A.11B.22C.2−122^{-12}D.2122^{12}
    Odpowiedź

    A.

    1. 2−6⋅262^{-6}\cdot 2^{6}
    2. =20=1= 2^0 = 1.

  4. (0–1 pkt) Liczba −323+4343\dfrac{\sqrt[3]{-32} + \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}} jest równa

    A.−1-1B.11C.−8-8D.−73\sqrt[3]{-7}
    Odpowiedź

    A.

    1. −323=−8⋅43=−243\sqrt[3]{-32} = \sqrt[3]{-8\cdot 4} = -2\sqrt[3]{4}
    2. −243+4343=−1\dfrac{-2\sqrt[3]4 + \sqrt[3]4}{\sqrt[3]4} = -1.

  5. (0–1 pkt) Liczba 224\sqrt[4]{2\sqrt2} jest równa

    A.2382^{\frac38}B.2342^{\frac34}C.2182^{\frac18}D.2122^{\frac12}
    Odpowiedź

    A.

    1. 22=2322\sqrt2 = 2^{\frac32}
    2. (232)14=238\left(2^{\frac32}\right)^{\frac14} = 2^{\frac38}.

  6. (0–1 pkt) Dana jest liczba M=210⋅512M = 2^{10}\cdot 5^{12}. Oceń prawdziwość stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.

    1. Liczba MM jest podzielna przez 2525.   P / F
    2. Zapis dziesiętny liczby MM ma 1212 cyfr.   P / F

    Odpowiedź

    PP.

    1. M=52⋅1010=25⋅1010M = 5^2\cdot 10^{10} = 25\cdot 10^{10}.
    2. Dwie cyfry „25” i dziesięć zer: 1212 cyfr.

  7. (0–1 pkt) Uzupełnij zdanie. Wartość wyrażenia (12−3)2(\sqrt{12} - \sqrt3)^2 jest równa  ……… .

    Odpowiedź

    33

    1. 12=23\sqrt{12} = 2\sqrt3
    2. (23−3)2=(3)2=3(2\sqrt3 - \sqrt3)^2 = (\sqrt3)^2 = 3.

  8. (0–2 pkt) Oblicz wartość wyrażenia 63−3−3\dfrac{6}{3 - \sqrt3} - \sqrt3. Zapisz obliczenia.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Usunięcie niewymierności. 63−3=6(3+3)9−3=3+3.\frac{6}{3 - \sqrt3} = \frac{6(3 + \sqrt3)}{9 - 3} = 3 + \sqrt3.
    2. Wynik. 3+3−3=33 + \sqrt3 - \sqrt3 = 3.

    1 pkt za 63−3=3+3\frac{6}{3 - \sqrt3} = 3 + \sqrt3. 2 pkt za wynik 33.

  9. (0–2 pkt) Masa Ziemi to około 6⋅10246\cdot 10^{24} kg, a masa Księżyca około 7,3⋅10227{,}3\cdot 10^{22} kg. Ile razy masa Ziemi jest większa od masy Księżyca? Wynik zaokrąglij do liczby całkowitej. Zapisz obliczenia.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Iloraz. 6⋅10247,3⋅1022=67,3⋅102≈0,822⋅100.\frac{6\cdot 10^{24}}{7{,}3\cdot 10^{22}} = \frac{6}{7{,}3}\cdot 10^{2} \approx 0{,}822\cdot 100.
    2. Odpowiedź. około 8282 razy.

    1 pkt za zapisanie ilorazu w postaci 67,3⋅102\frac{6}{7{,}3}\cdot 10^2 (albo równoważnej). 2 pkt za odpowiedź 8282.